新课程理念下高中数学二次函数的应用.docVIP

新课程理念下高中数学 浅议二次函数 石光华侨联合中学数学组 蔡振克 数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象、概括，形成方法和理论，进行广泛应用的过程，是人们生活、劳动和学习必不可少的工具；数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学是人类的一种文化，它的内容、思想方法和语言是现代文明的重要组成部分。新课程下的数学其基本出发点是促进学生全面、和谐地发展，突出体现了基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生，要求实现：人人学有价值的数学，人人都能获得必须的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。因此，要求我们教师从片面注重知识的传授转变到注重学生学习能力的培养,教师不仅要关心学生的学习结果,更要关注学生的学习过程,促进学生学会自主学习、合作学习、探究学习、重视学生的可持续发展,培养学生终身学习的能力。 高中数学课程标准指出：教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解。由于数学高度抽象的特点，注重体现基本概念的来龙去脉。在教学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质。 　　 函数单调性、奇偶性和最值的教学可由具体的函数图象，直观引入概念，再归纳单调函数、奇（偶）函数和最值的几何特征。在判断和证明一些简单函数的单调性、奇偶性时要体现数学思维的严谨性、逻辑性，并要求学生规范书写。教学中要重视数形结合思想方法的培养，利用函数的直观图象来研究函数的性质，反之利用函数性质来分析函数图象的形状。要注意函数单调性是对定义域的某个区间而言的，单调性必须在定义域内，而奇偶性是对整个定义域而言的，奇偶函数的定义域必须关于原点对称。学习函数的基本性质重在对概念理解和对一些简单函数的性质讨论，有些内容的加深和拓展应留待以后进行。 二次函数在高考中出现率是100%的，它往往隐藏在各种试题里面，但可以通过转化变形化成二次函数的形式，下面是对二次函数在高中阶段的学习的一些浅析， 一、进一步深入理解函数概念 初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射?:A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A的元素X对应，记为?(x)= ax2+ bx+c(a≠0)这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题： 类型I：已知?(x)= 2x2+x+2，求?(x+1) 这里不能把?(x+1)理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。 类型Ⅱ：设?(x+1)=x2－4x+1,求?(x) 这个问题理解为，已知对应法则?下，定义域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。 一般有两种方法： (1)把所给表达式表示成x+1的多项式。 ?(x+1)=x2－4x+1=(x+1)2－6(x+1)+6，再用x代x+1得?(x)=x2－6x+6 (2) 变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。 令t=x+1，则x=t-1 ∴(t)=(t-1)2－4(t-1)+1=t2－6t+6从而?(x)= x2－6x+6 二、二次函数的单调性，最值与图象。 在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间（－∞，－]及[－，+∞） 上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。 类型Ⅲ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。 （1）y=x2+2|x－1|－1 （2）y=|x2－1| （3）= x2+2|x|－1 这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。 类型Ⅳ设?(x)=x2－2x－1在区间[t,t+1]上的最小值是g(t)。 求：g(t)并画出 y=g(t)的图象 解：?(x)=x2－2x－1=(x－1)2－2，在x=1时取最小值－2 当1∈[t,t+1]即0≤t≤1，g(t)=－2 当t＞1时，g(t)=?(t)=t2－2t－1 当t＜0时，g(t)=?(t+1)=t2－2 t2－2, (t0)