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根的判别式与根与系数的关系复习课 教学目标： 1.判断一元二次方程的根的情况（两不等实根、两相等实根、无实根）； 2.由根的情况，确定方程系数中字母的取值范围或取值； 3.不解方程，求与方程两根有关代数式的值； 4.应用根与系数的关系求作一个一元二次方程； 5.根的判别式和根与系数的关系与其它知识的综合运用.并会灵活运用它们解决问题. 教学重点和难点 重点 一元二次方程根的判别式和韦达定理基本运用. 难点 灵活运用根的判别式和韦达定理解决问题. 教学过程 一、知识小结： 关于根的判别式： 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)根的判别式为：△=b2-4ac 作用: 不解方程，判断方程根的情况,解决与根的情况有关的问题. 主要内容: 判别式的取值 根的情况 △ ＞0 有两个不相等的实根 △＝0　　　　　　　 有两个相等的实根 △＜0　　　　　　　 没有实数根　 2.关于根与系数的关系（韦达定理） 主要内容: （1）方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根为x1、 x2，则x1+ x2= - x1 x2= 其中，当a=1时，方程x2+px+q=0的两根为x1、x2, 则x1+ x2= -p,x1 x2=q （2） 以x1, x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 x2 –(x1+ x2)x+ x1 x2=0 二、例题讲解： 关于根的判别式的应用： 1、对于数字系数方程，可直接计算其判别式的值，然后判断根的情况； 2、对于字母系数的一元二次方程，若知道方程根的情况，可以确定判别式大于零、等于零还是小于零，从而确定字母的取值范围； 3、运用配方法，并根据一元二次方程根的判别式可以证明字母系数的一元二次方程的根的有关问题. 例1 当m分别满足什么条件时，方程2x2-(4m+1)x +2m2-1=0, （1）有两个相等实根；（2）有两个不相实根；（3）无实根； (4)有两个实根. 解：∵△=（4m+1）2-4×2×（2m2-1）=8m+9 （1）当△=8m+9=0，即m= - 时，方程有两个相等的实根； （2）当△=8m+9＞0，即m＞- 时，方程有两个不等的实根； （3）当△=8m+9＜0，即m＜ -时，方程没有实根. 例2 求证：关于x的方程x2+(m+2)x+2m-1=0有两个不相等的实数根。 分析：(1)要证方程有两个不相等的实数根，就是证明其根的判别式要大于零. (2)对于一个含有字母的代数式，要判断其正负，通常下面方法：通过配方变为“ 一个完全平方式+正数”；或变为“ -（ ）2 –正数”. 解答过程略 关于根的判别式的应用： 例3 （1）已知关于x的方程3x2+6x-2=0的两根为x1 ，x2，求的值. 分析：已知方程，求两根组成代数式的值。这里主要说明解题格式，学生完成过程. （2） 已知关于x的方程3x2-mx-2=0的两根为x1 ，x2，且 ，求 ①m的值；②求x12+x22的值. 分析：第（1）题是已知方程，求两根组成代数式的值，而第（2）题的第一问就反来了，也就是已知代数式的值求方程。第②问，再进一步，已知代数式的值，求另一个代数式的值.但是，无论是哪一个问题，所要用到的都是根与系数的关系. 小结：1.求方程两根所组成的代数式的值，关键在于把所求代数式变形为两根的和与两根的积的形式. 2.常见的形式： （1）(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2 （2）x13+x23=(x1+x2)3-3x1x2(x1+x2) x1-x2= 关于根的判别式和韦达定理的综合应用问题 例4、若关于x的一元二次方程x2-3(m+1)x+m2-9m+20=0有两个实数根，又已知a、b、c分别是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边，∠C=90°，且cosB=,b-a=3,是否存在整数m,使上述一元二次方程两个实数根的平方和等于Rt△ABC的斜边的平方？若存在，请求出满足条件m的值；若不存在，说明理由. 分析：（１）提问：此题与哪些知识有关？（勾股道理、解直角三角形、根与系数的关系、根的判别式） （２）如何利用条件cosB=？ （３）“使上述一元二次方程两个实数根的平方和等于Rt△ABC的斜边的平方”通过这句话，你能明白什么？你先必须求什么？ （４）然后按照解决“存在性”问题的过程去解题. （５）求出m后，要考虑它是否符合题意. 通过此题，使学生明白解决这类问题，一般遵循“三步曲”，即假设存在——推理论证——得出结论（合理或矛盾两种情况）