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流场有序结构分析解的探讨 On the Exact Solutions of the Ordered Structures in Flow Field 力学与工程科学系99级 邓新华 摘要 流体力学的基本控制方程是Navier-Stokes方程，作为一个非线性的偏微分方程组，它不存在通解；定常情况下，已经找到的分析解大致有平行流、广义Beltrami流、相似性解三类。从Helmholtz方程新的特解，我们进一步讨论了Bénard对流和三维Beltrami流动。此外，结合工作中的应用，介绍了科技和工程界上四个著名的数学软件MatLab、Mathematica、Maple和MathCAD。 Abstract The fundamental governing equations for fluid mechanics are the Navier-Stokes Equations. As a nonlinear set of partial differential equations, it has no general solutions, yet only a small number of exact solutions have been found. In this paper, based on the special solution of Helmholtz Equation we have found, new solutions for the B閚ard convection and the 3D Beltrami Flows will be discussed. Also we will introduce four of the most notable mathematical softwares, which are MatLab, Mathematica, Maple and MathCAD. 一、引言 在过去的几个世纪里，流体力学家在众多实际问题中找到了分析解[1－3]，但是，这些解具有很强的局限性，往往对模型做了多种假设，只适合特定的问题；而且有些还存在奇异性，如个别点不单值或者无界，不严格满足边界条件。尽管如此，分析解还是有着举足轻重的地位。它们描述了自然界基本的流体动力学现象，有些还与实验现象惊人的吻合，为实际工程应用、气象等提供了很好的近似；其次，对精确解，我们可以研究其稳定性、叠加的可行性等，深入讨论流动的本质；而且，随着计算机广泛应用于流体计算，这些简单的解可以用来检验计算方法的合理性和精确性。 二、Bénard对流的奇异解 对流现象和海洋、大气、星球内部的动力学，以及许多工业生产密切相关。在空间中，当流体层的温度梯度大到某一程度时，将出现热传导状态到以热对流为主的状态的转变；通常，对流现象中因非线性的因素自发形成特殊的空间结构，称之为斑图（pattern）。Bénard对流是非线性科学中一个典型的自组织现象，可以说是目前研究最充分的一类斑图结构；本世纪初，瑞利提出了线性稳定性理论[5]，指导了近百年来Bénard对流涡胞的分析和模拟。由线性稳定方程 （1） 通过假定扰动的形式，可以分离变量，其中水平方向集中体现了涡胞的性质。而且满足如下简单的方程： （2） 目前典型的涡胞解有[6]：①直涡卷（Rolls）： ； （3） ②矩形涡胞（Rectangular Cells）： ； （4） ③六角形涡胞（Hexagonal Cells）： （5） 等。 我们找到了方程（2）在极坐标下的解 （6） 取实部有 （7） 螺旋涡胞实验照片 由，给出一条从坐标原点出发的螺旋线，即速度垂直分量为零的涡核的位置，函数的图象给出螺旋波的雏形，根据稳定性理论，我们导出了速度场：两股流体分别旋入和旋出中心；此外，原点是函数的唯一奇点，而在实验中螺旋涡胞的中心也是流场中的唯一奇点。因此我们曾经猜测，解（7）将对应于Bénard对流的螺旋涡胞。进一步的工作表明，我们的这种猜测是可以被否定的。 首先，我们可以验证方程（2）具有形式（l、m、n为常数）的解是唯一的，且该唯一解（6）作为复变函数并不解析。 函数f 单值分支 其次，注意到，式（7）中函数的余弦项中对应的系数是1/2，即是关于以4π为周期的函数——在x、y平面上的任意一点，将对应着两个具有相反符号的函数值；而且，任取一单值分支都将存在一个间断面。回到流动现象，这将意味着在流场中总存在一个间断面，在这个间断面的两边，流场具有完全相反的性质；或者流体的微团总处于两个不同的状态。无论怎样，都将与流动的基本现象和连续性