浅析“数形结合”思想在高考解题中的应用.pptVIP

浅析“数形结合”思想在高考解题中的应用 首都师范大学数学科学学院 祁权 论文主体内容结构 第一部分： 关于“数形结合”思想 第二部分：“数形结合”思想在我国数学高考中的应用 第三部分：“数形结合”思想在全国各省市2008年高考题的体现及分类解析： 第四部分 运用“数形结合”思想切实提高解题能力 第一部分 关于“数形结合”思想 一、“数形结合”思想的历史 二、什么是“数形结合” 三、“数形结合”的意义 一、“数形结合”思想的历史 “数形结合”由来已久，早在数学被抽象、分离为一门学科之前，人们在生活中，度量长度、面积和体积时，就已经把数和形结合起来了。 在宋元时期，我国古代数学家系统地引进了几何问题代数化的方法，用代数式描述某些几何特征，把图形中的几何关系描述成代数关系。 17世纪上半叶，法国数学家笛卡尔通过坐标系建立了数与形之间的联系，创立了解析几何学。后来，几何学中许多长期不得解决的问题，最终也是借助于代数方法得到圆满解决。这些都说明了“数形结合”思想有着悠久的历史。 二、什么是“数形结合” 恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。” 数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。 数形结合包括“以形助数”和以数辅形”两个方面。 三、“数形结合”的意义 数学的研究对象大致可以分成两类：一类是研究数量关系的；一类是研究空间形式的。 数和形是数学的两个基本概念，全部数学内容大体就是围绕这两个概念提炼、演变、发展而逐步展开的。 数形结合在数学发展中的重要意义，正如法国数学家拉格朗日在《数学概要》一书中所说：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄。但是当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸取新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善。”我国著名数学家华罗庚也曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”由此可见形和数的相互依赖、相互制约的辩证关系 第二部分：“数形结合”思想在我国数学高考中的应用 一、“数形结合”思想方法在高考内容中的体现 二、“数形结合”思想方法在高考中占有非常重要的地位。 一、“数形结合”思想方法在高考内容中的体现 可以说，用数形结合解题在高中数学各个板块中都有应用，像函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是 “以形示数”。 而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是 “以数助形”，还有导数更是数形结合的产物，这些都为我们提供了 “数形结合”的知识平台。 二、“数形结合”思想方法在高考中占有非常重要的地位 巧妙运用数形结合思想解题，不仅直观易于寻找解题途径，而且能避免繁杂的计算和推理，可起到事半功倍的效果，在选择、填空题的解答中更能体现其优越性，近年在解答题中也加重了对数形结合的考查． 通过下表2008年各地高考数学理科试卷涉及数形结合的题目及分值来看，其重要程度不言而喻。 2008年高考数学理科试卷涉及数形结合的题目及分值统计 第三部分：“数形结合”思想在全国各省市2008年高考题的体现及分类解析： （一）利用数形结合解决集合问题 （二）利用数形结合解决函数（也包括三角函数）问题 （三）利用数形结合解决不等式和线性规划问题 （四）利用数形结合解决解析几何问题 （五）利用数形结合解决立体几何问题 （一）利用数形结合解决集合问题 图示法是集合的重要表示法之一，对一些比较抽象的集合问题，在解题时若借助韦恩图或用数轴、图象等数形结合的思想方法，往往可以使问题直观化、形象化，从而灵活、直观、简捷、准确地获解。　　 1、利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题．如：　　当几个集合的解集是不等式形式，要求它们的交集或并集时，经常借助于数轴，把不等式的解集在数轴表示出来，通过数轴观察它们的交集或并集，这样比较直观。 2、利用韦恩图法解决集合之间的关系问题．　一般用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元素．若利用韦恩图法则能直观地解答有关集合之间的关系的问题． 例1.（2008北京卷,理1）例 2 .（2008四川卷,理1） 统计：2008全国Ⅱ 1、天津6 、重庆11、上海2、陕西2、 辽宁1、安徽2、浙江2、江西2山东1、江苏4均为与例1例2相似利用数形结合解答的集合问题 （二）利用数形结合解决函数（也包括三角函数）的问题 函数的图象是函数关系的一种表示，它是从“形”的方面来刻画函数的变化规律。函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得答案的重要工具。函数的图象和解析式