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平面几何——蝴蝶定理 制作人：黄泽国 蝴蝶定理 蝴蝶定理是古典欧式平面几何最精彩的结果之一，由霍纳于1815年提出。蝴蝶定理内容为：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD；设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。 定理概述 蝴蝶定理是古典欧式平面几何的最精彩的结果之一。这个命题最早出现在1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，题目的图形象一只蝴蝶。这个定理的证法多得不胜枚举，至今仍然被数学热爱者研究，在考试中时有出现各种变形。 证明方法  过O作OL⊥ED，OT⊥CF，垂足为L、T，连接ON，OM，OS，SL，ST 容易证明△ESD∽△CSF 所以ES/CS=ED/FC 根据垂径定理得：LD=ED/2，FT=FC/2 所以ES/CS=EL/CT 又因为∠E=∠C 所以△ESL∽△CST 所以∠SLN=∠STM 因为S是AB的中点 所以OS⊥AB 所以∠OSN=∠OLN=90° 所以∠OSN+∠OLN=180° 所以O，S，N，L四点共圆 同理O，T，M，S四点共圆 所以∠STM=∠SOM，∠SLN=∠SON 所以∠SON=∠SOM ， 因为OS⊥AB 所以MS=NS 椭圆定理 椭圆的长轴A1、A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上， 中心为M(o，r)（br0）。 写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率 直线y=k1x交椭圆于两点C（x1,y1）,D(x2，y2)（y20）；直线y=k2x交椭圆于两点G（x3，y3），H（x4，y4）（y40）。求证：k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4) 对于（Ⅱ）中的C，D，G，H，设CH交X轴于点P，GD交X轴于点Q。 曲线推广 通过射影几何，我们可以非常容易的将蝴蝶定理推广到普通的任意圆锥曲线（包括椭圆，双曲线，抛物线，甚至退化到两条相交直线的情况）。 圆锥曲线C上弦PQ的中点为M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。 而通过投影变换可以非常容易证明这个定理。 * * *