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第8章 均值－方差分析 本章大纲 偏好与分布 证券组合前沿 证券组合前沿的一些数学性质 8.1　偏好与分布 一般来说，仅仅用证券组合的预期回报率和预期回报率的方差并不能包含经济行为主体投资行为所需的全部信息。 但是马可维茨通过效用函数和投资收益的分布作了相应假设之后证明，经济行为主体的预期效用能够仅仅表示为证券组合的预期回报率和预期回报率的方差的函数。 对于任意的分布和效用函数，期望效用并不能仅仅由预期收益（率）和方差这两个元素来描述。所以均值－方差分析的运用是存在限制条件的。 　用泰勒展开式对均值－方差运用的局限性进行说明 随机变量　　是经济行为主体在时期1的全部收入或财富，其效用函数　　　在　　的预期值周围展开可得 其中 则表示经济行为主体的预期效用并不能仅仅由对时期1财富的期望均值和方差这两个元素完全刻画，而是应该包括泰勒展开式的高阶矩部分。 均值－方差分析方法的使用条件和范围 考察未来收益分布为任意分布的情况 此时为了使经济行为主体的偏好能够为均值和方差完全刻画，我们必须假定经济行为主体的效用函数是一个二次型效用函数，即经济行为主体的效用函数或以表达为　　　　　　　　　　　　　　。　 　此时　　　　　 于是经济行为主体的预期效用可以由时期1的财富变量的两个中心矩来定义 二次型效用函数对于经济行为主体的偏好关系的刻画存在着以下两个主要的缺点： 第一，二次型效用函数显示经济行为主体对于收益或财富具有餍足性，即个体收益的总效用存在着极大值，超过这点之后，收益增加的边际效用为负。 证明（见书P110） 第二，递增的绝对风险厌恶与现实中经济行为主体行为存在矛盾。 讨论经济行为主体的效用偏好为任意偏好的情况 在任意偏好的情况下，如果三阶及三阶以上高阶矩可以表示为均值和方差的函数，则我们就可以使用均值－方差分析来考察经济行为主体的效用函数。　 在正态分布的条件下，前面泰勒展开式的三阶及三阶以上高阶矩可以表示为一阶矩和二阶矩（均值和方差）的函数。因此，　　　就可以完全地由均值和方差表示。 这样，如果经济行为主体的任意偏好是在正态分布的时期1的财富上定义的，并且所有证券未来收益满足多元正态分布，经济行为主体的效用函数就都可以由时期1的收益的期望和方差来刻画。 这种情况下，均值和方差对个体行为描述有相当大的局限性，主要表现在以下几个方面： 第一，资产收益率服从正态分布的假定与现实中资产未来收益往往偏向正值相矛盾。 第二，对于密度函数的分布来说，均值－方差分析并没有考虑其偏斜度。 最后，仅仅用均值和方差也不能刻画函数分布中的峭度。 　8.2　证券组合前沿 假定： 在一个无摩擦的经济中有　　　　支风险证券，这些证券可以自由地卖空，并且，所有证券的未来收益率都具有有限的方差和彼此差异的预期均值。 任何一支证券的随机收益率都不能由其他证券收益率的线性组合来表示，即这些证券的随机收益率是彼此线性独立的。 在这种假设的经济中，向量　　　　　表示J 种风险证券的随机收益率。矩阵V表示J 种风险证券收益率的方差和协方差矩阵。 V是非奇异的、对称的。 矩阵V是正定的。　　　 　 前沿证券组合 前沿证券组合：如果在所有具有相同预期收益率的证券组合中，有一支证券组合具有最小的方差值，则这支证券组合就定义为前沿证券组合。 证券组合p是一支前沿证券组合的充分必要条件是它的证券组合权重hp 是下面二次规划问题的解 　　　约束条件为　　　　　　　　　　　　　。 　　　其中：e表示J支风险证券的预期均值组成的向量， 表示证券组合的预期回报率，1表示分量为1的J维向量。 构造一个拉格朗日函数，　　是以下函数式的解： 　　（其中，　　和　　　是两个正值的常数。） 求解可得 　 　　其中 　　 　　且B＞0，C＞0，并且可以断定D＞0。 我们可以得出一个预期收益率为　　　的前沿证券组合的唯一权重集合 　　其中 　　 从以上（8.8）式人们可以看出，　　是预期收益率为0的前沿证券组合的权重向量；　　　是预期收益率为1的前沿证券组合的权重向量。 　证券组合前沿 证券组合前沿：经济中所有的前沿证券组合的集合，我们称之为证券组合前沿。 命题：全部证券组合前沿上的证券组合都可以由两个前沿证券组合　和　　　的线性组合得出。 证明见书P113－114 更强的命题：整个证券组合前沿可以由任意两支收益率不同的前沿证券组合得出。（证明见书P114 ） 任意两支前沿证券组合　　和　　之间的协方差为 均值－方差平面中的前沿组合 关系式（8.11a）也可以等价地写成 最小方差证券组合的收益率和其他任意证券组合（不单是前沿证券组合）的收益率的协方差，总是同最小方差证