《概率论与数理统计》课后习题答案chapter2.docVIP

习题2.1解答 1．现有10件产品，其中6件正品，4件次品。从中随机抽取2次，每次抽取1件，定义两个随机变量、如下： 试就下面两种情况求的联合概率分布和边缘概率分布。 （1） 第1次抽取后放回； （2） 第1次抽取后不放回。 解 （1）依题知所有可能的取值为. 因为 所以的联合概率分布及关于、边缘概率分布如下表为： （2）类似于（1），可求得 所以的联合概率分布及关于、边缘概率分布如下表为： 2. 已知10件产品中有5件一级品，2件废品。现从这批产品中任意抽取3件，记其中的一级品数与废品数分别为、，求的联合概率分布和边缘概率分布。 解 依题知、所有可能的取值分别为及，故 所以的联合概率分布及关于、边缘概率分布如下表为： 3. 已知随机变量、的概率分布分别为 且，求 （1）和的联合概率分布； （2）. 解 （1）因为 所以 又根据得，从而. 于是由表 可得 ， ， ， . 故的联合概率分布为 (2) 由(1)知. 4. 设二维随机向量的联合概率密度为 试求：（1）常数； （2）关于、的边缘概率密度； （3）； （4）； （5）. 解 （1）由联合概率密度分的性质知 ， 即 ， 求得. （2）当时，有 . 当时，有. 所以关于的边缘概率密度为 同理可得关于的边缘概率密度为 （3） . （4）积分区域如图阴影部分 （5）积分区域如图阴影部分 =. 5．设二维随机向量的联合概率密度为 试求：（1）关于、的边缘概率密度； （2）. 解 （1）当时，有 ； 当时，有. 所以关于的边缘概率密度为 同理可得关于的边缘概率密度为 （2）由条件概率的定义知 而 ； ； 于是 . 6．设二维随机向量的联合概率密度为 试求：（1）关于、的边缘概率密度； （2）. 解 （1）当时，有 ； 当时，有. 所以关于的边缘概率密度为 同理当时，有 ； 当时，有. 所以关于的边缘概率密度为 （2） . 7. 某公司经理和他的秘书定于本周星期日中午12点至下午1点在办公室会面，并约定先到者等20分钟后即可离去，试求二人能会面的概率。 解 记经理和他的秘书到达办公室的时间分别为12点分与12点分。依题可假定服从区域 上的均匀分布，其联合概率密度为 “二人能会面”这一事件 （图中所示阴影部分）可表示为 于是  习题2.2解答 1.设随机变量与相互独立同分布，且，，则( ). （A） （B） （C） （D） 解 由与相互独立同分布知的联合概率分布为 于是有 2.设随机变量相互独立同分布，且，，求行列式的分布列。 解 ，而、的概率分布分别为： 由于相互独立，所以与也独立同分布，故的概率分布为 即 3. 设二维随机向量服从矩形区域上的均匀分布，且 求与的联合概率分布。 解 依题的概率分布为 ； ； ； . 即 0 1 0 0 1 4.求习题2.1第4，5，6题中的联合分布函数。 解 （习题2.1第4题） 当时，有 ； 当时，有. 所以的联合分布函数为 （习题2.1第5题） 当时，有； 当时，有 ； 当时，有 ； 当时，有 ； 当时，有. 所以的联合分布函数为 （习题2.1第6题） 类似地可求得的联合分布函数为 5．设二维随机向量的联合概率密度为 求的联合分布函数。 解 当时，有； 当时，有 ； 当时，有