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曲边梯形的面积 常熟市浒浦高级中学 李建中 教学目的： 从问题情境中了解定积分的实际背景，借助几何直观体会定积分的基本思想和内涵。 2.通过例1 “以直代曲”的三个方案的教学，可引导学生探索、讨论， 3.在建立“分割、以直代曲、作和、逼近”的具体操作过程中，突出“局部以直代曲”的本质。 引入 1．03号宗地国有土地使用权实行公开拍卖出让。现就有关事项公告如下： 拍卖地块情况： 这是由一条曲线与两条线段所围成的图形，面积是19373.68㎡。 问：那么这块地的面积如何计算呢？有没有同学会求？你会求哪些图形面积？ 观察下列变化中的图形，讨论：怎样求它们的面积？再由图（3）折线段相似于引入中曲线，得出“以直代曲”的思想方法。 引入课题：曲边梯形的面积 新授: 1．如果我们把引入中的曲线看成抛物线y=x2的一部分，题目改为： 例1:如图（1），直线x=0，x=1，y=0和曲线y=x2围成的图形（曲边三角形）面积S是多少？ 按照刚才的思路进行分割，分成多少份？ 生：(1)分割: 把区间[0，1]等分成n个小区间 每个小区间的长度为 ，过各区间端点作x轴的垂线，y=x2相交，从而得到n-1）个小曲边梯形。它们的面积分别记作： △S1S2，…,△Si，…, △Sn。 (2)以直代曲: 对区间[]上的小曲边梯形， （4）逼近：当n趋向于+∞时，1-，1+ 所以，S无限逼近于，所以S=。 小结：在本题中，求曲边三角形面积分了哪几步进行？ 3.探究： 有没有其他“以直代曲”的方案？ 提示：当n+∞时，0,我们拿出一个“放大”的曲边梯形。 针对方案2、3学生分组练习，并将所得结果与方案1所得结果比较，是否相同？ 完成后，演示3个小插件验证这个曲边三角形的面积无限逼近于。 ①几何画板插件。 ②近似数值公式，使用Excel制作图。 把 形式改变一下，写成 [（+（+……+（]，问其意义是什么？”方案中，在每一个小区间 上可取左端点，也可以取右端点或区间上的任意点，没有统一的要求，只是为了计算方便，通常取一些特殊点，如左端点或右端点。 为什么？ 因为当分点非常多（n很大）时，可以认为f（x）在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f（xi）作为小矩形一边的长。于是，可用f（xi）△x来近似表示小曲边梯形的面积，这样，和式f (x 1) △x + f (x 2) △x +… + f (x i) △x +…+ f (x n) △x （*） 表示了曲边梯形面积的近似值。当△x即为所求面积S。 4.应用举例 t s的速度为v(t)(单位：m／s)， 假定0≤t≤10，对函数v (t)按v (t1) △t+ v (t2) △t+ … +v (ti) △t + … +v (tn) △t所作的和具有怎样的实际意义? 生：分析： 因为火箭的速度受到加速度、重力、空气阻力等影响，所以火箭的速度不是常数，它的轨迹是一条曲线，但在一个小区间内它变化很小。 所以我们将区间[0，10] n等分，每个小区间上任取一点，依次为t1，t2，…，ti，…，tn。 这样，v(t1)△t近似表示火箭在第i个时段内运行的路程， v (t1) △t+ v (t2) △t+ … +v (ti) △t + … +v (tn) △t近似表示火箭在10s内运行的总路程，当分割无限变细(△t无限趋近于0)，上式就无限趋近于火箭在10s内所运行的总路程． 5. 最后，我们看引入中的问题能不能解决呢？还需添加什么条件？ 生： 学生举例说明 三．小结 求曲边梯形的面积通常采用：分割、以直代曲、作和、逼近的方法. 2.由两道例题可以看到求曲边梯形的面积，变速运动路程的思想方法是相同的，那么课后我们思考一下通过求定区间的曲边梯形的面积能否探求出相关的计算公式，这就是我们下一节要学习的定积分。（预习） 四.练习: 1.若在中将区间改为[1，2]，如何求曲边梯形面积？ 2.求由直线x=0,x=1,y=0和曲线y=x(x-1)围成的图形面积。 1 3100 ≤1.5 ≤30% ≥35% 770 住宅 119373.68 星都街与苏绣路 苏园 起拍价（元/平方米） 容积率 建筑 密度 绿地率 出让年限 用途 面积 （平方米） 位置 地块 x y o x y o a b c x 苏 绣 路 星 都 街 y O 1 y=x2 x 逼近 作和 以直代曲 分割 o y … … ， （图示） ． x 逼近 o y x 作和 逼近 P A B C