9 RC一阶电路（动态特性 频率响应）.docVIP

9 RC一阶电路（动态特性 频率响应） 一个电阻和一个电容串联起来的RC电路看起来是很简单的电路。实际上其中的现象已经相当复杂，这些现象涉及到的概念和分析方法，是电子电路中随处要用到的，务必仔细领悟。 ? 9.1 零输入响应 ? 1.电容上电压的过渡过程 先从数学上最简单的情形来看RC电路的特性。在图9.1 中，描述了问题的物理模型。假定RC电路接在一个电压值为V的直流电源上很长的时间了，电容上的电压已与电源相等（关于充电的过程在后面讲解），在某时刻t 0突然将电阻左端S接地，此后电容上的电压会怎么变化呢？应该是进入了图中表示的放电状态。理论分析时，将时刻t 0取作时间的零点。数学上要解一个满足初值条件的微分方程。 看放电的电路图，设电容上的电压为v C,则电路中电流 ， 依据KVL定律，建立电路方程： 初值条件是 像上面电路方程这样右边等于零的微分方程称为齐次方程。 设其解是一个指数函数： K和S是待定常数。 代入齐次方程得 约去相同部分得 于是 齐次方程通解 还有一个待定常数K要由初值条件来定： 最后得到： 在上式中，引入记号，这是一个由电路元件参数决定的参数，称为时间常数。它有什么物理意义呢？ 在时间t = ??处， 时间常数 ?是电容上电压下降到初始值的1/e＝36.8% 经历的时间。 当t = 4 ??时，，已经很小，一般认为电路进入稳态。 数学上描述上述物理过程可用分段描述的方式，如图9.1 中表示的由V到0的“阶跃波”的输入信号，取开始突变的时间作为时间的0点，可以描述为： ；。 [练习.9.1]在仿真平台上打开本专题电路图，按图中提示作出“零输入响应”的波形图。观察电容、电阻上输出波形与输入波形的关系，由图上读出电路的时间常数值，与用电路元件值计算结果比较。 ? 仿真分析本专题电路 ? 得到波形图如图9.2 所示。 在0到1m这时间内，电压源值为V，在时刻1m时电压源值突然变到0。仿真平台在对电路做瞬态分析之前，对电路作了直流分析，因此图中1m以前一段波形只是表明电路已经接在电压源值为V“很长时间”后的持续状态。上面理论分析只适用于1m以后的时间过程。时刻1m是理论分析的时间“零”点。图上看到，电容上的电压随时间在下降，曲线的样子是指数下降曲线的典型模样。由vC曲线找到电压值为0.368V的地方，读出它的时刻值(=2m)，即可求到电路的时间常数是1m(1毫秒)。 图中也画出电阻上电压变化曲线。观察，发现在1m以前，电阻电压为0，在时刻1m，电阻电压突变到 -V，然后逐渐升到0。怎样理解这个过程呢？ ? 2.电阻上电压的过渡过程 虽然专题电路图中取电阻的电压时是由电阻直接落地的电路得到的，但电路元件参数是相同的，该电阻上的电压应和电容落地电路中的电阻是一样的。按照这种想法，看图9.1 ，注意电阻的电压的参考方向应是由S点向右，即应是v(S点)-vC ，在电源电压为V的时间内，电容已被充电到vC=V，那么vR= v(S点)-vC=V-V=0。在理论分析时间0处，电压源的电压值突变到0，即v(S点)=0，但电容上的电压不能突变（回顾电容的特性：电压有连续性）。为了区分突变时刻的前和后的状态，用0- 表示突变前，0+ 表示突变后。 即是说， vC(0+)= vC(0-)=V 那么， vR(0+)= 0-vC(0+)= -V 在随后的时间内，按KVL定律， 电阻上的电压应为： 当然，也可以直接对电阻落地的电路来做理论分析。 ? 在图9.3 中，看S点突然改为接地后电容的放电过程。 以电阻的电压作求解变量。利用KCL定律， 电路微分方程 整理得 由上面的分析知初值条件是： 与上面对电容电压的演算过程类似，就可得到 对比用电容电压和用电阻电压作求解变量的两个微分方程，发现形式一样。最后 的解却不同，这是由于它们的初始条件不同。 由此可见，初始条件对于电路过程的求解是非常重要的。 ? 9.2 RC电路的非零起始态响应 图9.4 表示的是假定在考察的起始时间的“零”以前，电容上已经有电压V1，在“零”时电源电压突变到V2。在随后的时间里，电路中的电流、电容上电压、电阻上电压会怎样变化？ 以电容上电压vC(t)作求解变量， 在t 0的时间里，电路的微分方程为： 初始值是： 现在的微分方程右端不等于零，是非齐次方程。非齐次线性微分方程的解由两部分组成：齐次通解vCh(t)和非齐次特解vCp(t)。 ?  齐次方程是： 这个方程在上面已讲过，即齐次