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第三章 3.1讲 第一节 导数的概念 一．导数概念的实例 1.变速直线运动的瞬时速度 设有一质点在s轴上从某一点开始作变速直线运动，在时刻t时，质点的位置坐标为s.这样，对于每一个t值都有一个确定的s值与之对应.因此，s是t的函数： 当时间t从变到时，质点运动的路程为，则在这段时间内质点的平均速度是 由于质点的运动是变速的，无论时间取得怎样小，平均速度只能是质点在时刻速度的近似值.｜｜越小，越接近于质点在时刻的瞬时速度.因此，当时，的极限值就是质点在时刻的瞬时速度.即： 2.曲线的切线 在平面解析几何里，圆的切线定义是与圆只相交于一个交点的直线.对于一般曲线就不能把与曲线只相交于一点的直线定义为曲线的切线，所以切线的定义必须另外规定. 设点是曲线y=f(x)上一点，当自变量x从变到时，在曲线上得到另一点，由图3－2可看到，割线MN的斜率是 其中是割线MN的倾斜角.当时，N点沿曲线移动而趋向于M点，这时割线MN就逐渐绕M点转动而趋于一极限位置MT，直线MT叫做曲线在M点的切线，相应地，割线MN的斜率随而趋于切线MT的斜率（是切线的倾斜角），即 上面两个实际问题的具体含义各不相同，但从数学结构上看，却具有完全相同的形式，它们都是函数的增量与自变量之比当自变量的增量趋于零时的极限. 二、导数的定义 1.y=f(x)在x处的导数 定义1 设函数y=f(x)在点x处的某一邻域内有定义，当自变量x在x处取得增量时，相应函数值y也取得增量＝.如果当时， 的极限存在，这个极限值就叫做函数y=f(x)在x处的导数.记作,,，.即 　　　　　　（1） 此时，也称函数y=f(x)在处可导.否则称f(x)在处不可导或导数不存在. 说明： （1）是函数y=f(x)在以与为端点的区间上的平均变化率，而则是函数y=f(x)在点的变化率. （2）在导数定义中，令，则有，当时，有，于是得到一个和式（1）等价的定义： （2） 2．在(a,b)内的导函数 定义2 如果函数在（a,b）内每一点的都可导，则称函数在区间（a,b）内可导，称为的导函数，简称导数，记为或,，，也称为（a,b）内的可导函数. 显然，f(x)在处的导数等于在处的值，即 说明： （1）变速直线运动的瞬时速度是路程s对时间t的导数，即 它是导数的物理意义之一； （2）函数y=f(x)在x处的导数表示曲线在点M(x,y)处的切线的斜率.即它就是导数的几何意义. 根据导数的几何意义，我们可以得到曲线在给定点处的切线方程和法线方程. 切线方程为　 法线方程为　　　［］ 3．单侧导数 定义3　若存在，则称此极限值为在处的左导数，记为；若存在，则称此极限值为在处的右导数，记为.左导数、右导数统称为单侧导数. 根据导数的定义及极限存在定理有： 存在的充要条件是左导数、右导数存在且相等. 三、用导数的定义求导数 用导数定义求函数导数可按以下步骤进行： （1） 求增量＝ （2） （3） 求极限 例1 求函数 (c为常数)的导数 解 （1）＝＝C－C＝0 （2）＝0 （3）＝0 即　　　 例2 求函数的导数＝ ＝ （2）＝ （3）＝ 即　　　 一般地，对于幂函数(是任意实数)，有 例如 当时，得到 当 时，得到 当 时，得到 例3 求函数y=sinx的导数 解 （1）＝ ＝ （2）＝ （3）＝ 即　　　　　　　 同理可求得　　　 例4 求函数的导数 解 （1）＝ （2）＝ （3）＝ 即　　　 特例，若a=e,则 四、可导与连续的关系 （1）若函数在点处可导，则在处连续 证明 在点处可导，即 = 所以＝ ＝ 从而得　　　　 故y=f(x)在点x处连续 （2）函数y=f(x)在x处连续，但在该点却不一定可导. 例如，函数y=∣x∣={在x=0处连续,但在该点不可导，因为 ，所以不存在，即f(x)在x=0处不可导. 例5 证明函数在x=0连续但不可导. 证明 因为， 而 故 函数f(x)在x=0连续. 因为，所以不存在，即f(x)在x=0处不可导.