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自动控制原理习题及其解答 第一章（略） 第二章 例2-1 弹簧，阻尼器串并联系统如图2-1示，系统为无质量模型，试建立系统的运动方程。 解：(1) 设输入为yr，输出为y0。弹簧与阻尼器并联平行移动。 (2) 列写原始方程式，由于无质量按受力平衡方程，各处任何时刻，均满足，则对于A点有 其中，Ff为阻尼摩擦力，FK1，FK2为弹性恢复力。 (3) 写中间变量关系式 (4) 消中间变量得 (5) 化标准形 其中:为时间常数，单位[秒]。 为传递函数，无量纲。 例2-2 已知单摆系统的运动如图2-2示。 (1) 写出运动方程式 (2) 求取线性化方程 解：（1）设输入外作用力为零，输出为摆角( ，摆球质量为m。 （2）由牛顿定律写原始方程。 图2-2 单摆运动 其中，l为摆长，l( 为运动弧长，h为空气阻力。 （3）写中间变量关系式 式中，α为空气阻力系数为运动线速度。 （4）消中间变量得运动方程式 （2-1) 此方程为二阶非线性齐次方程。 （5）线性化 由前可知，在( ＝0的附近，非线性函数sin( ≈( ，故代入式（2-1）可得线性化方程为 例2-3 已知机械旋转系统如图2-3所示，试列出系统运动方程。 图2-3 机械旋转系统 解：（1）设输入量作用力矩Mf，输出为旋转角速度( 。 （2）列写运动方程式 式中， f(为阻尼力矩，其大小与转速成正比。 （3）整理成标准形为 此为一阶线性微分方程，若输出变量改为(，则由于 代入方程得二阶线性微分方程式 例2-4 设有一个倒立摆安装在马达传动车上。如图2-4所示。 图2-4 倒立摆系统 倒立摆是不稳定的，如果没有适当的控制力作用在它上面，它将随时可能向任何方向倾倒，这里只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图2-65所示平面内运动。控制力u作用于小车上。假设摆杆的重心位于其几何中心A。试求该系统的运动方程式。 解：(1) 设输入为作用力u，输出为摆角( 。 (2) 写原始方程式，设摆杆重心A的坐标为（XA，yA）于是 XA＝X＋lsin( Xy = lcos( 画出系统隔离体受力图如图2－5所示。 图2-5 隔离体受力图 摆杆围绕重心A点转动方程为： （2－2） 式中，J为摆杆围绕重心A的转动惯量。 摆杆重心A沿X轴方向运动方程为： 即 （2－3） 摆杆重心A沿y轴方向运动方程为： 即 小车沿x轴方向运动方程为： 方程（2－2），方程（2－3）为车载倒立摆系统运动方程组。因为含有sin( 和cos( 项，所以为非线性微分方程组。中间变量不易相消。 (3) 当( 很小时，可对方程组线性化，由sin( ≈(，同理可得到cos≈1则方程式(2－2)式（2－3）可用线性化方程表示为： 用的算子符号将以上方程组写成代数形式，消掉中间变量V、H、X得 将微分算子还原后得 此为二阶线性化偏量微分方程。 例2-5 RC无源网络电路图如图2－6所示，试采用复数阻抗法画出系统结构图，并求传递函数Uc(s)/Ur(s)。 图2-6 RC无源网络 解：在线性电路的计算中，引入了复阻抗的概念，则电压、电流、复阻抗