03 第三节 置信区间.docVIP

第三节 置信区间 前面讨论了参数的点估计, 它是用样本算出的一个值去估计未知参数. 即点估计值仅仅是未知参数的一个近似值, 它没有给出这个近似值的误差范围. 例如, 在估计某湖泊中鱼的数量的问题中, 若根据一个实际样本, 利用最大似然估计法估计出鱼的数量为50000条, 这种估计结果使用起来把握不大. 实际上, 鱼的数量的真值可能大于50000条, 也可能小于50000条.且可能偏差较大. 若能给出一个估计区间, 让我们能较大把握地(其程度可用概率来度量之)相信鱼的数量的真值被含在这个区间内, 这样的估计显然更有实用价值. 本节将要引入的另一类估计即为区间估计, 在区间估计理论中, 被广泛接受的一种观点是置信区间, 它由奈曼(Neymann)于1934年提出的. 分布图示 ★ 引言 ★ 置信区间的概念 ★ 寻求置信区间的方法 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 分布参数的区间估计 ★ 例4 ★ 单侧置信区间 ★ 例5 ★ 例6 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题6-3 内容要点 一、置信区间的概念 定义1 设为总体分布的未知参数, 是取自总体X的一个样本, 对给定的数, 若存在统计量 使得 则称随机区间为的双侧置信区间, 称为置信度, 又分别称与为的双侧置信下限与双侧置信上限. 注: 1. 置信度的含义: 在随机抽样中, 若重复抽样多次, 得到样本的多个样本值, 对应每个样本值都确定了一个置信区间, 每个这样的区间要么包含了的真值, 要么不包含的真值. 根据伯努利大数定理, 当抽样次数充分大时, 这些区间中包含的真值的频率接近于置信度(即概率) , 即在这些区间中包含的真值的区间大约有个,不包含的真值的区间大约有个. 例如, 若令, 重复抽样100次, 则其中大约有95个区间包含的真值, 大约有5个区间不包含的真值. 2. 置信区间也是对未知参数的一种估计, 区间的长度意味着误差, 故区间估计与点估计是互补的两种参数估计. 3. 置信度与估计精度是一对矛盾.置信度越大, 置信区间包含的真值的概率就越大, 但区间的长度就越大, 对未知参数的估计精度就越差. 反之, 对参数的估计精度越高, 置信区间长度就越小, 包含的真值的概率就越低, 置信度越小. 一般准则是: 在保证置信度的条件下尽可能提高估计精度. 二、寻求置信区间的方法 寻求置信区间的基本思想: 在点估计的基础上, 构造合适的函数, 并针对给定的置信度导出置信区间. 一般步骤: (1) 选取未知参数的某个较优估计量; (2) 围绕构造一个依赖于样本与参数的函数 (3) 对给定的置信水平,确定与,使 通常可选取满足的与，在常用分布情况下, 这可由分位数表查得; (4) 对不等式作恒等变形化后为 , 则就是的置信度为的双侧置信区间。 三、(0—1)分布参数的置信区间 考虑(0—1)分布情形, 设其总体X的分布率为 现求p的置信度为置信区间. 已知(0—1)分布的均值和方差分别为 设是总体X的一个样本, 由中心极限定理知, 当n充分大时, 近似服从分布, 对给定的置信度, 则有 经不等式变形得 其中 解式中不等式得 其中 于是可作为p的置信度为的置信区间. 四、单侧置信区间 前面讨论的置信区间称为双侧置信区间, 但在有些实际问题中只要考虑选取满足或 的与，对不等式作恒等变形后化为 或 从而得到形如或的置信区间. 例如, 对产品设备、电子元件等来说, 我们关心的是平均寿命的置信下限, 而在讨论产品的废品率时, 我们感兴趣的是其置信上限. 于是我们引入单侧置信区间. 定义 设为总体分布的未知参数, 是取自总体X的一个样本, 对给定的数, 若存在统计量 满足 则称为的置信度为的单侧置信区间, 称为的单侧置信下限; 若存在统计量 满足 则称为的置信度为的单侧置信区间, 称为的单侧置信上限. 例题选讲 寻求置信区间的方法 例1(E01) 设总体为已知, 为未知, 设是来自X的样本, 求的置信水平为的置信区间. 解 已知是的无偏估计, 且 而不依赖于任何未知参数. 按标准正态分布的双侧分位数的定义, 有 即 这样, 就得到了的一个罡信水平为的置信区间 常写成 若取 即 及 查表得 则得到一个置信水平为0.95的置信区间 若由一个样本值得样本均值的观察值 则进一步得到一个置信水平为0.95的置信区间 这个区间的含