1-2_误差基础知识.pptVIP

2002.9.9 yfnie@nwpu.edu.cn 二、误差基础知识 内容提要： 误差的来源及其分类 误差的度量 误差的传播 2.1 误差来源及其分类 模型误差（描述误差） 观测误差 2.1 误差来源及其分类(续1) (3) 截断误差（方法误差） 数值方法准确解与模型的分析解之间的差异。 由于算法必须在有限步内执行结束而导致的，它需要将无穷过程截断为有限过程（时间的有限性） 。 2.1 误差来源及其分类(续2) 舍入误差 算法实现过程中，由于计算机对数采用有限字长表示，仅能区分有限信息，准确表示某些数，不能准确表示所有 数; 这样在计算机中表示的原始输入数据、中间过程数据、以及最终计算结果必然产生误差，称此类误差为舍入误差（空间的有限性） 。 如用计算机计算e的近似值en时，实际上得不到en的精确值，只能得到en的近似e* 2. 2 误差的度量 绝对误差与绝对误差限 Next 绝对误差限能刻划对同一真值不同近似的好坏，但不能刻划对不同真值近似程度的好坏 。 相对误差与相对误差限 Next 不能直接显示出误差限 有效数字与有效数 Next 度量间的关系 Next 1）绝对误差与绝对误差限 绝对误差定义： 近似值---真值 1）绝对误差与绝对误差限（续1） 2）相对误差与相对误差限 2）相对误差与相对误差限（续1） 2）相对误差与相对误差限（续2） 3）有效数字与有效数 3）有效数字与有效数（续1） 有效数：当x* 准确到末位，即n=p，则称x*为有效数 举例：x=π, x1*=3.141, x2*=3.142 例1.4 例1.5 例1.6 3）有效数字与有效数（续2） 注1: 有效数末位数单位的一半是它的误差限，可见有效数本身就体现了误差界。 注2: 对真值进行四舍五入得到有效数。 注3: 从实验仪器所读的近似数（最后一位是估计位）不是有效数，估计最后一位是为了确保对最后一位进行四舍五入得到有效数。 例 从最小刻度为厘米的标尺读得的数据123.4cm是为了得到有效数123.cm,读得数据156.7cm是为了得到有效数157.cm。 3）有效数字与有效数（续3） 注4：近似同一真值的近似数的有效位数越多，其绝对误差限越小； 注5：有效数的末尾不能随意添加零； 注6：有效数字与第一位非零数字之间零的个数没有关系； 注7：准确值具有无穷位有效数字． 4）误差度量间的联系 绝对误差与相对误差：e(x*)/x*=er(x*) 绝对误差与有效数字：|e(x*)|= 相对误差与有效数字 定理证明 例1 例题 2.3 初值误差传播 概念：近似数参加运算后所得值一般也是近似值，含有误差，将这一现象称为误差传播 。 误差传播的表现： 算法本身可能有截断误差； 初始数据在计算机内的浮点表示一般有舍入误差； 每次运算一般又会产生新的舍入误差，并传播以前各步已经引入的误差； 误差有正有负，误差积累的过程一般包含有误差增长和误差相消的过程，并非简单的单调增长； 运算次数非常之，不可能人为地跟踪每一步运算。 2.3 初值误差传播（续1） 初值误差传播：假设每一步都是准确计算，即不考虑截断误差和数据表示引入的舍入误差，仅研究初始数据的误差传播规律。 研究方法： 泰勒（Taylor）方法 复习公式 一元函数（计算函数值的条件数） n元函数 二元函数（算术运算） …… (1)一元函数初值误差传播 Taylor级数展开 绝对误差 绝对误差限 (1)一元函数初值误差传播（续） 相对误差 相对误差限 (2) n元函数初值误差传播 (2) n元函数初值误差传播（续1） 例1.8 (3)二元算术运算误差传播 (3)二元算术运算误差传播（续） 例1.9 复习泰勒公式 * * 在数值分析中不研究这两类误差，总是假定数学模型是合理正确的反映了客观实际问题。 舍入误差 截断误差 Return Return 3位有效数字，非有效数 4位有效数字，有效数 Return 解： Return 当f(x*) ? 0，x* ? 0时 Taylor Formula 相对误差传播： 相对误差限传播： 注: 对于具体的一组数据，上面给出的误差限传播公式是实际误差的一个粗糙偏大的估计. 注: 对于具体的一组数据，上面给出的误差限传播公式是实际误差的一个粗糙偏大的估计.