1.2§1.2 数值计算的误差.pptVIP

第一章 绪论 1.2 数值计算的误差 1.2.1 误差的来源 　　应用数学工具解决实际问题，首先，要对被描述的实际问题进行抽象、简化，得到实际的数学模型。数学模型与实际问题之间会出现的误差，我 们称之为模型误差。 　　其中 是由实验观测得到的常数， 则称 为模型误差， 是 的观测误差。 例如，设一根铝棒在温度t时的实际长度为Lt ， 在t=0 时的实际长度为L0，用lt来表示铝棒在温度为t时的长度计算值，并建立一个数学模型： 在数学模型中，通常要包含一些由观测数据确定的参数。对数学模型中一些参数的观测结果一般不是绝对准确的。我们把观测模型参数值产生的误差称为观测误差。 　　在解实际问题时，数学模型往往很复杂，因而不易获得分析解，这就需要建立一套行之有效的近似方法和数值方法。我们可能用容易计算的问题代替不易计算的问题而产生误差，也可能用有限的过程代替无限的过程而产生误差。我们将模型的准确解与用数值方法求得的准确解之间的误差称为截断误差或方法误差。 例如，对函数 当|x|较小时，我们若用前三项作为sinx的近似值，则截断误差的绝对值不超过 　　在数值分析中，除了研究数学问题的算法外，还要研究计算结果的误差是否满足精度要求，这就是误差估计问题。在数值计算方法中，主要讨论的是截断误差和舍入误差。 1.2.2 误差与有效数字 　　定义 1.1 设 是某实数的精确值， 是它的一个近似值，则称 为近似值 的绝对误差，或简称误差。 称为 的相对误差。 　　用计算机做数值计算时，一般也不能获得数值计算公式的准确解，需要对原始数据、中间结果和最终结果取有限位数字。我们将计算过程中取有限位数字进行运算而引起的误差称为舍入误差。 例如， 如果我们取小数点后四位数字，则 　就是舍入误差。 　　当 时，相对误差没有意义。在实际计算中，精确值 往往是不知道的，所以通常把 作为 的相对误差。 定义1.2 设 是某实值的精确值， 是它的一个近似值，并可对 的绝对误差作估计 ，则称 是 的绝对误差界，或者称误差界。称 是 的相对误差界。 例1.1 我们知道 若取近似值 ，则 ，可以估计绝对误差界为0.002,相对误差界为0.0006。 　　解 因为实际问题中所截取的近似数，其绝对误差界一般不超过最小刻度的半个单位，所以当 时，有 ，其相对误差界为 例1.2 测量一木板长是954cm，问测量的相对误差界是是多大？ 定义1.3 设 是 的一个近似值，将 写成 (1.2.1) 它可以是有限或无限小数的形式，其中 　是0，1，…，9中的一个数字，　　　 为整数。如果 则称 为 的具有 位有效数字的近似值。 　　可见，若近似值 的误差界是某一位的半个单位，该位到 的第一位非零数字共有 位有效数字的近似值。 　　通常在 的准确值已知的情况下，若要取有限位数的数字作为近似值，就采用四舍五入得到的近似值，其绝对误差界可以取被保留的最后数位上的半个单位。 　　显然，近似值的有效数字位数越多，相对误差越小，反之也对。下面，我们给出相