非惯性系中的质点动力学.pptVIP

理论力学 ( II ) 认识地球上的 科氏惯性力 * 第 一 章 非惯性系中的质点动力学 前面讲过, 牛顿第二定律只适用于惯性系. 如果在非惯性系内建立动力学方程, 则质量与非惯性系下的加速度乘积的度量, 除了与真实力有关, 还与非惯性系下产生的各种惯性力有关. 由牛顿第二定律和运动学的加速度合成公式, 有: 第一章 : 非惯性系中的质点动力学 §1 – 1 非惯性系中质点动力学的基 本方程 例一 . (书上P2 例1－1) 单摆的摆长为L, 小球的质量为m , 其悬挂点O以加速度 ao 向上运动. 求此单摆的微振动周期. O φ 例二. ( 参见书上 习 1 – 4 ) 质点M其质量为m, 被限制在旋转面容器内光滑的经线AOB运动. 旋转面容器绕其几何轴Oz 以匀角速度ω 转动. 求: M点相对静止处曲线的切线斜率与回转半径r 的关系. 如果r为任意值时M点 都静止, 求旋转面经线AOB的形状. θ O y x z ω M r τ θ mg A B 习 1 – 5 . 图示一离心分离机的鼓室, 鼓室的半径为R , 高为H . 以匀角速度ω 绕 Oy 轴转动. 当鼓室无盖时, 为使被分离的液体不致溢出. 试求: 鼓室旋转时, 在平面内液面所形成的曲线形状. 注入液体的最大高度H′ . y ω x h H o R mg F H –h 在非惯性系下的力学系统, 无论处于什么状态, ( 静止、运动 ) 必存在着惯性力. 这些惯性力所产生的力学效应, 可以通过相关的仪器测出, 或可以通过人的感官感觉到. 公共汽车在转弯的时候对车上的物体作用有离心惯性力, 这已是常识. 还有一些感觉是一般人体会不到的 . 飞机加速上升, 使人身上的血往下流, 脑中失血, 眼睛失明 — 这就是飞行中的 ‘ 黑晕’ 现象. 飞机加速下降, 使人身上的血往上流, 脑中充血, 眼睛红视 — 这就是飞行中的 ‘ 红视’ 现象. 地球本身就是一非惯性系, 而且是一有转动的非惯性系. 所以, 严格地讲,以 地球作为 参照 系 的上的力学现象中, 应有牵连惯性力和科氏惯性力的效应. 如果考察地球上局部空间内的力学现象, 把地球的这一部分运动空间视为‘ 匀速直 线平动’, 则许多力学现象的分析与计算结果是可用的. 但是, 对于一些精确的力学问题, 以及大尺度的力学问题, 必须考虑相应的惯性力. 对于地球上的许多大尺寸的运动学问题, 科氏惯性力的影响不容忽视. 下面, 我们来研究 地球上物体的运动与科氏惯性力. 建立地面坐标系如图示 质点相对于地球的运动微分方程为 即为: R x y z o ∴( I ) 式的投影方程为: 1 自由落体偏东 设运动初始条件: 将( 1 ) 、( 3 ) 式分别积分: 由初始条件可得: A = 0, B = 0 代入( 2 ) 式整理可得: 其解为: R x y z o 代入 可得 同理可得: R x y z o 这就是考虑科氏惯性力影响的自由落体公式 这里, 地球的自转的角速度 借助于幂级数, 我们来分析上面的方程. 取 代入 ( 4 ) 、( 5 ) 、( 6 ) 式 可得: R x y z o 如果不考虑地球的角速度, 即是略去?、?2 项, 则有: 从这几组方程可明确得知: 自由落体运动, 在考虑地球的自转效应时, 落到地面后位置偏东, 若在精确一点讲, 还有一点偏南(北半球) 或偏北( 南半球) . ( 只有两极处无此现象 ) R x y z o 2 竖直上抛物体落点偏西 由初始条件: 重复前面的解题过程可得: 取 代入 上 式 可得: R x y z o 若去掉 ?2 以上的项则有: ( 物体返回地面 ) ( 落地偏西 ) R x y z o *