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n阶行列式的计算方法很多，除直接按定义计算外，一般还有下列方法： 1．利用行列式的性质化为三角形行列式计 算法 2. 降阶展开法 Ax=b r(A)=r(A,b)=n 有唯一解 step1. 系数矩阵初等行变换 化为行阶梯形矩阵 step2. 讨论方程组的解 step1. 增广矩阵初等行变换化为行阶梯形矩阵 step2. 讨论方程组的解 计算问题 1）怎样求矩阵 A 的秩？------ 行、列 “关于矩阵的秩” 求正交矩阵Q的步骤 (4) 将对应于全部不同特征值 的线性 无关特征向量 作为列向量构成矩阵Q，即为所求之正交矩阵．亦即使得Q-1AQ为对角矩阵，其主对角线上的元素即为A的全部特征值． 重要的定理或性质 重要的定理或性质 重要的定理或性质 重要的定理或性质 重要的定理或性质 重要的定理或性质 定理 判定 例1 解 3、最大无关组及向量组的秩 设有向量组 ， 满足下面两个条件： 如果能在 中选出 个向量 （1）向量组 线性无关； 线性表示。 （2）向量组 中的每一个向量都能由向量组 则称向量组 为向量组 的最大无关组。 最大无关组所含向量的个数 称为向量组的秩。 一、行列式 1、二阶三阶行列式的计算 2、n阶行列式的计算 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式. 性质４　行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零． (1) 利用行列式的性质计算 （化为三角形） 性质5　若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和. 性质６　把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变． 例 计算行列式 解 (2) 利用行列式展开计算 定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 例 二、矩阵 1、矩阵的逆的求法 （1）公式法（伴随法） （2）初等变换法 行的初等变换 例1 求方阵 的逆矩阵. 解 （公式法） 故 （初等变换法） 即 初等行变换 2、矩阵的秩 矩阵秩的求法 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩. 例 解 三、向量之间的关系 1、线性组合 　　　　　　　　　　　　　　　　 向量 能 由向量组 线性表示． 定义 存在矩阵 ， 使得 矩阵方程 有解 判定 线性表示 能由 线性表示 存在矩阵 ， 使得 矩阵方程 有解 例 设 证明向量 能由向量组 线性表示，并 求表示式。 解 只需证矩阵 与矩 阵 有相同的秩。 下面把矩阵 化为行最简形： 法一 行的初等变换 向量 可由向量组 线性表示。 由最简形知，方程组 的通解为 从而 其中 为任意常数。 法二 设 即 也即 其中 为任意常数。 解得其通解为 故向量 可由向量组 线性表示，且 其中 为任意常数。 定义 则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关． 2、线性相关性 上页 返回 下页 线性代数总复习 一、行列式 二、矩阵 三、向量之间的关系 四、线性方程组的解 五、特征值与特征向量 第一章教学要求： 1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质。 2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。 3．理解克莱姆法则及其应用。 行列式的计算 第二、三章教学要求： 1．理解矩阵的概念。 2．了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称 矩阵，以及它们的性质。 3．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律， 了解方阵的幂、方阵乘积的行列式。 4．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的 充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求矩阵的逆。 5．掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，掌握用初等变换求逆矩阵的方法；及求矩阵的秩的方法。 6．了解分块矩阵及其运算。 1．了解n维向量的概念。 2．理解向量组线性相关、线性无关的定义，了解并会用有关 向量组线性相关、线性无关的重要结论。 3．了解向量组的极大线性无关组和向量组的