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第3章 误差的合成与分配 教学目标 教学重点和难点 函数系统误差 函数随机误差 函数误差分布的模拟计算 随机误差的合成 未定系统误差和随机误差的合成 误差分配 微小误差取舍准则 最佳测量方案的确定 第一节　函数误差 一、函数系统误差计算 二、函数随机误差计算 相互独立的函数标准差计算 三角形式的函数随机误差公式 相关系数的确定 一、标准差合成 二、未定系统误差的合成 二、极限误差合成 单项极限误差: 单项随机误差的标准差 单项极限误差的置信系数 合成极限误差: 合成标准差 合成极限误差的置信系数 第二节　随机误差的合成 合成极限误差计算公式 根据已知的各单项极限误差和所选取的各个置信系数，即可进行极限误差的合成 各个置信系数 、 不仅与置信概率有关，而且与随机误差的分布有关 对于相同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数相同 对于不同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数也不相同 第二节　随机误差的合成 ?ij 为第i个和第j个误差项之间的相关系数，可根据前一节的方法确定。 应用极限误差合成公式时，应注意： 当各个单项随机误差均服从正态分布时，各单项误差的数目q较多、各项误差大小相近和独立时，此时合成的总误差接近于正态分布 合成极限误差： 若 和 各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，而且他们之间常是线性无关或近似线性无关，是较为广泛使用的极限误差合成公式 第二节　随机误差的合成 时： 此时 第三节　系统误差合成 一、已定系统误差的合成 系统误差的分类： 1） 已定系统误差 2） 未定系统误差 定义：误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差 表示符号：? 合成方法：按照代数和法进行合成 ?i 为第i个系统误差，ai为其传递系数 系统误差可以在测量过程中消除，也可在合成后在测量结果中消除 第三节　系统误差合成 （一） 未定系统误差的特征及其评定 定义：误差大小和方向未能确切掌握，或者不须花费过多精力去掌握，而只能或者只需估计出其不致超过某一范围 ?e 的系统误差 特征： 1） 在测量条件不变时为一恒定值，多次重复测量时其值固定不变，因而单项系统误差在重复测量中不具有低偿性 2） 随机性。当测量条件改变时，未定系统误差的取值在某极限范围内具有随机性，且服从一定的概论分布，具有随机误差的特性。 表示符号： 极限误差：e 标准差：u 1、标准差合成 第三节　系统误差合成 （一） 未定系统误差的合成 未定系统误差的取值具有一定的随机性，服从一定的概率分布，因而若干项未定系统误差综合作用时，他们之间就具有一定的抵偿作用。这种抵偿作用与随机误差的抵偿作用相似，因而未定系统误差的合成，完全可以采用随机误差的合成公式，这就给测量结果的处理带来很大方便。 同随机误差的合成时，未定系统误差合成时即克可以按照标准差合成，也可以按照极限误差的形式合成。 若测量过程中有 s 个单项未定系统误差，它们的标准差分别为 u1，u2，……，us，其相应的误差传递系数为a1，a2，……，as ，则合成后未定系统误差的总标准差 u 为: 则由各单项未定系统误差标准差得到的合成未定系统误差极限误差为： 式中，?ij 为第 i 个和第 j 个误差项的相关系数 第三节　系统误差合成 当 ?ij=0 时 2、极限误差的合成 因为各个单项未定系统误差的极限误差为: 若总的未定系统误差极限误差表示为： 则有： 第三节　系统误差合成 或者，由各单项未定系统误差极限误差得到的合成未定系统误差极限误差为： 当各个单项未定系统误差均服从正态分布，且相互间独立无关，即 ，则上式可简化为： 第四节　系统误差与随机误差的合成 一、按极限误差合成 误差的合成可按照两种形式合成：按极限误差误差形式合成、按标准差形式合成。 测量过程中，假定有 r 个单项已定系统误差，s 个单项未定系统误差，q 个单项随机误差。它们的误差值或极限误差分别为： 1、单次测量情况 若各个误差的传递系数取 1，则测量结果总的极限误差为： 式中，R 为各个误差之间的协方差之和。 当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时，测量结果总的极限误差可简化为： 第四节　系统误差与随机误差的合成 一般情况下，已定系统误差经修正后，测量结果总的极限误差就是总的未定系统误差与总的随机误差的均方根值，即： 2、n 次重复测量情况 当每项误差都进行 n 次重复测量时，由于随机误差间具有低偿性、系统误差（包括未定系统误差）不存在低偿性，总误差合成公式中的随机误差项应除以重复测量次数 n 。 总极限误差变为