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掌握“函数的表示”,提高高中数学教学的效果
泉州外国语中学 邹洪旺
摘要:函数的表示以数学符号形式出现,使得学生更难读懂数学题的题意,以致使得数学学习困难丛丛,学会正确理解函数的表达式是至关重要的。
关键字:函数表达式,数学符号语言,抽象。
对于一个刚进高中学习的学生来说,数学学习是不容易的,数学的抽象性和数学符号言语的表达简洁性等知识,即便初中数学佼佼者同样是谈”数”色变。在函数知识的学习方面尤为突出,虽然初中学习了几种基本的函数,并且对函数的解析式、图象、以及函数的性质作了较充分的学习和研究,可是一接触到高中的函数知识,很多同学就感觉到吃力,甚至是有茫然不知所措的感觉。主要因为高中知识,更注重应用数学语言表达一个知识点或一个命题,使学生在阅读题时遇到很多的障碍,不能迅速顺利地理解题意。函数知识在高中数学教学内容占较大的比例,同时隐含高中数学的重要数学思维、数学思想方法,如数形结合思想,方程、函数、不等式等价变换数学能力,函数的极值、最值体现了局部与整体统一的数学思想等。在此就函数的概念和表示方法知识,结合教学中的反思谈几点自己的建议。不足之处望得到同仁们的批评指正。
一.准确理解函数的概念,平稳过渡为符号语言。
高中函数的概念强调两个变量的对应关系,以映射的概念为基础,一个变量,在对应法则的作用下得到,比如函数,对于这样表示的解析式需强调的表示含义,讲完概念后出了一题:
已知函数,求。一部分学生的解题过程是,。所以答案是。究其原因主要有两方面①没认真审题沿用原来的解题思维;②没有理解函数表达形式的含义,函数的对应关系。再如:例.已知函数,求函数的表达式。用换元法,设,得到,到此将换成即得到结论,但是很多学生又将代入这显然是错的。以上两例都是没有正确理解函数的表达式的含义。比如描述的是一个变量,在对应法则的作用下,得到这个变量的平方减3的结果。由此函数与函数是定义域相同,且表示同一样对应关系,即为相同函数。因此我们要准确理解概念并转化为自然语言,减轻学生思维负担。
二.重视函数基本性质表达,正确理解数学符号语言的描述。
(1)函数的奇偶性. 函数满足或即描述的是两个互为相反数的变量的函数值相等或含数值互为相反数。从方程角度体现了与的等价互换关系。
(2)函数的单调性.对于所给区间里任意两个变量,且,若(或),则函数在上单调递增(或单调递减)。根据函数的单调性可得两个推论。①由且函数在上单调递增(或单调递减)(或);②函数在上单调递增(或单调递减)且(或)。由定义以及两个推论深刻地理解函数的单调性的含义。
(3)函数周期性.函数满足,为周期。以及常用的两个变形式,和,这两个都是在描述自变量增加个单位时,函数值变为相反数或变为倒数,自变量再增加个单位时函数值与原来相同,因此都是表示函数周期为。
(4)函数的对称性.函数满足,该等式描述的是,自变量比大的函数值等于比小的函数值,即函数图象关于对称。其变形式函数满足,则函数图象关于对称。函数的对称性要区别于:函数与函数()的图象的对称关系,首先这是描述两个函数的图象关系,其次它们的对称轴不是。函数是将函数的图象向右平移个单位,而函数是函数关于对称的函数。所以函数与函数的图象关于对称。
函数基本性质的表达与叙述,是通过数学符号语言来展示,因此正确理解阅读数学语言显得尤为重要,通过不断地尝试,对比正确地把握其表达的数学信息是解题的关键。
三.在练习中反思,不断提升应用数学语言的能力。
著名数学家波利亚说:“数学问题的解决仅仅只是一半,而更重要的是解题之后的回顾与反思”。因此在数学学习方面要学会具备多思考的良好习惯,需要思考解题过程中应用到的知识点以及知识点间的关联,需要思考解题过程中难点,包括解题思维的难点和运算的难点等。
例1. 已知是定义在上,,且满足,则 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
简解:由可得函数具有周期性,所以,或。仅根据周期性没法得到一个准确的值。又由是定义在上,,可得,即可得结论,故选A。本小题不是难题,关键要养成读懂数学言语的良好习惯。
再如例2.已知函数对一切实数均有成立,且,(1)求的值;(2)试确定函数的解析式.
解题思路解析:本题给了一个隐函数的解析式,由于其中是任意的实数这个条件要牢记,即任取不同的可得相应的等式,即得到相应的方程。但是的取值最好围绕着与展开,因此令结合已知条件即可求出。在计算后,让学生试一试求,主要目的是让学生更深刻地了解所给的条件等式。对于求函数的解析式,考虑已知等式的左边出现了两种形式与,怎么构造呢?结合第(1)步只需令即可得到结论。解题关键是学会阅读函数的表达式,结合方程的思想求得结论,
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