第十章_曲线积分与曲面积分.doc

第九章 曲线积分与曲面积分 本章所讲的曲线积分于曲面积分都是定积分的推广 9．1 第一型曲线积分 一．第一型曲线积分的概念和性质 1．金属曲线的质量 设有金属曲线L（如图9－1），L上各点的密度为二元连续函数ρ＝ρ（ｘ，ｙ），求这曲线的质量。 把L分成n个小弧段：Δs，Δs，…，Δs，其中Δs（i=1,2,…n）也表示这些小弧段的长度。在Δs上任取一点（ξ，η），由于线密度函数是连续的，因此当Δs很小时，Δs的质量?m便可近似地表示为：?m≈ρ（ξ，η）Δs，于是整个金属曲线地质量近似于M≈ρ(ξ，η)Δs.记λ＝{Δs},令λ0取上式和式的极限，得M＝ρ(ξ，η)Δs. 2．第一型曲线积分（对弧长的曲线积分）的定义 定义：设L为xoy平面内的曲线弧，是L上的有界函数,把L分成n个小弧段: Δs，Δs，…，Δs，其中Δs（i=1,2,…n）也表示第i个小弧段的弧长. 记λ＝{Δs},在每个小弧段Δs上任取一点（ξ，η）,作和式Δs,如和式极限Δs存在,且极限值与L的分法和点（ξ，η）在Δs上的取法无关,则称此极限值为函数?(x,y)在曲线L上的第一型曲线积分或称为对弧长的线积分,记作,即=Δs称为被积函数,L为积分曲线弧. 注1:同前面一样,并非任一个函数在L上的对弧长的曲线积分都是存在的.但若在L上连续,则其积分是存在的.故以后在不作特别说明的情况下,总假定在L上连续. 注2:显然物体M的质量为:M= 注3:类似地,我们可定义对于空间曲线弧的曲线积分: = 注4:若L为闭曲线,则在L上的对弧长的曲线积分记为 性质1.若(i=1,2…n)存在,C (i=1,2,…n)为常数,则= 性质2:如按段光滑曲线L由曲线L,L,…,L首尾相接而成,且 (i=1,2,…n)都存在,则= 性质3:若,都存在,且在L上,则 性质4:若存在,则也存在,且有 性质5:若存在,L的弧长为S,则存在常数C,使得=CS 二.第一型曲线积分的计算法 我们可应用下列定理将第一型曲线积分转化为定积分来计算: 定理:设曲线L的方程为:,,,其中,在上具有连续的一阶导数, 为L上的连续函数,则有= 证:详细的证明书上有,大家自己看,现在我们从另外一方面来说明这个问题:我们用来表示L上的以为取值区间所对应部分的弧长,则有=. 两边求微分,得 进而: 又当在L上变化时,相应地在上取值,故 = . (注:并非严格的证明) 注1:若L的方程为,则= 若L的方程为,,则= 2:若空间曲线的方程为: ,,,.则有 = 3:定理.注1.2中的定积分的上下限,一定满足:下限上限.这是因为,在这里的L(或)是无向曲线弧段,因而单从L的端点看不出上下限究竟是什么.这就要从L(或)的方程的形式来考虑.又00 从而当很小时,0.此时若视为L上某一段弧的弧长,应有00.这说明此时的变化是由小到大的.而这里正是的一般形状,故下限上限. [例1]: 设L是半园周: 0. 计算 解: === [例2]: 设为球面被平面所截的圆周,计算. 解:根据对称性知 == ===的弧长== 第二型曲线积分 第二型曲线积分的概念与性质 这里讲的是曲线积分的另一种形式.假设一质点受力=i+j的作用沿平面曲线L运动,求当质点从L的一端点A移动到另一端点B时,力所做的功W.(这里假设,在L上连续) 首先,对有向曲线L作分割:用点M,M,…,M与M=A,M=B将L分成n个小段(i=1,2…n). 以表示其弧长.记该分割的细度为λ＝{Δs},当很小时,有向的小弧段可用有向的直线段来代替: =i+j,其中=,=.而,分别为M与M点的坐标.又在上任取一点（ξ，η）.当很小时,由于,在L上连续,故可用在（ξ，η）点处的力=i+j来近似代替上其它各点的力,因此变力在小弧段上所作的功,就近似地等于常力沿所做的功.故有.=+ 所以 W= . 且当时,有W=. 2.第二型曲线积分(对坐标的曲线积分)的定义 定义:设L是面上从点A到点B的有向光滑曲线, ,在L上有界,把L分成n个小弧段Δs，Δs，…，Δs，其中Δs（i=1,2,…n）也表示第i个小弧段的弧长.在Δs(i=1,2,…n)上任取一点（ξ，η）,做和式,其中和是分别在轴和轴上的投影.记λ＝{Δs},如果极限存在,且极限值与L的分法及点（ξ，η）在Δs上的取法无关,则称此极限值为函数,在有向曲线弧L上的第二型曲线积分或对坐标的曲面积分,记作 即有: =, 其中,称为被积函数,L称为积分曲线弧.同理,当,都在L上连续时,上述积分才存在.故今后总假定,在L上连续 注1: 完全可以类似地扩到空间曲线上,得 2: 当L为封闭曲线时,常记为: 3:这两类线积分,除了形式上不同之外,还有一关键性区别在于:第一类线积分与L的方向无关,而