概率建模真题.doc

§2 在数模竞赛中用到概率论的一些实例 一、（2002年全国数模竞赛B题）彩票中的数学 要求对各种彩票的设置方案，计算各个奖项的中奖概率、奖金额，以及对彩民的吸引力，评价各种方案的合理性，设计一种“更好”的方案，给彩票管理部门提出建议。 目前流行的彩票主要有下列两种类型： （1）“传统型” 例（“10选6+1”）投注者从0～9这10个号码中选出6个基本号码（可重复），排列成一个6位数，再从0～4这5个号码中选出1个特别号码，构成一注。开奖时，从0～9中摇出6个基本号码（可重复），排列成一个6位数，再从0～4中摇出1个特别号码，根据投注号码与开奖号码相符的情况确定中奖等级，如下表所示（其中abcdef为摇出的基本号码，g为摇出的特别号码，X为其他号码）： 中奖等级 投注者选的基本号码 投注者选的特别号码 一等奖 abcdef g 二等奖 abcdef X 三等奖 abcdeX Xbcdef g X 四等奖 abcdXX XbcdeX XXcdef g X 五等奖 abcXXX XbcdXX XXcdeX XXXdef g X 六等奖 abXXXX XbcXXX XXcdXX XXXdeX XXXXef g X 投注者选的每个基本号码，与摇出号码相符的概率都是，不符的概率是。选的特别号码，与摇出号码相符的概率是，选错的概率是。因为各位号码的选对与否，是相互独立的，所以，一组投注号码中奖的概率，等于各位号码选对与否的概率的乘积，即有 ； ； ； ； ； 。 （2）“乐透(lottery)型” 例（“36选6+1”）投注者从01～36这36个号码中选出7个号码（无重复，不考虑排列次序），构成一注。开奖时，从01～36中摇出6个基本号码（无重复，不考虑排列次序）和1个特别号码，根据投注号码与开奖号码相符的情况确定中奖等级，如下表所示（其中O为摇出的基本号码，★为摇出的特别号码，X为其他号码）： 中奖等级 投注者选的号码 中奖概率 一等奖 OOOOOO★ 二等奖 OOOOOOX 三等奖 OOOOO★X 四等奖 OOOOOXX 五等奖 OOOO★XX 六等奖 OOOOXXX 七等奖 OOO★XXX 36个号码可以分为3类：6个基本号码、1个特别号码和29个其他号码。彩民投注时，从36个号码中任意选7个号码（无重复，不考虑排列次序），有种不同选法。在彩民选出的7个号码中，恰好有个基本号码和个特别号码的情况，相当于先从6个基本号码中选个，再从1个特别号码中选个，再从29个其他号码中选个，共有种不同选法，所以，中奖概率为 （，）。 彩民购买一注彩票的金额为2元，获得的奖金金额由下列表格和计算公式给出（以上面的“乐透型36选6+1”为例）： 中奖等级 一等奖 二等奖 三等奖 四等奖 五等奖 六等奖 七等奖 奖金额 500元 100元 10元 5元 奖金额在高项奖中 所占的比例 75% 10% 15% 其中，四等奖、五等奖、六等奖、七等奖称为“低项奖”，奖金额固定；一等奖、二等奖、三等奖称为“高项奖”，奖金额不固定，按照下列公式求出： ， ， 。 高项奖单项每注奖金额，与彩票销售总额和这一项中奖的投注数有关。但是，如果按照概率计算，可以求出高项奖单项平均每注奖金额，与彩票销售总额无关，与这一项中奖的投注数也无关： 。 按照这一公式，可以求得高项奖平均每注奖金额为 中奖等级 一等奖 二等奖 三等奖 奖金额 4205385元 19335元 4834元 设投注者每购买一注彩票可以得到的奖金额为随机变量，他能得到的平均奖金额就是的数学期望，把上面求出的奖金额和中奖概率代入，可以求得 （元）。 得到这一结果是必然的，因为，投注者每购买一注彩票付出的金额为2元，按照规定，返回给彩民的奖金总数为彩票销售总额的50%，所以平均每注彩票的奖金额显然应该就是 。 对各种彩票设置方案，都可以用上述方法求出各项奖的中奖概率和奖金额，在此基础上，便可进一步考虑彩票设置方案的合理性，对彩民的吸引力，设计出“更好”的方案来。 二、（2004年国际数模竞赛A题）指纹是唯一的吗？ 人们普遍相信一种说法：在世界上曾经生活过的任何两个人，他们的指纹，都是不相同的。要求建立一个模型，分析评估一下，这种说法，成立的可能性有多大。 （1）任意选出两个人，他们的指纹相同的概率 设一个指纹中有个特征点，在每个特征点处，都有可能出现种不同的特征（如：核心、分岔、孤岛、孔洞、三角、端点、交叉、……，等等）。 设在第个特征点处，出现各种特征的概率分别为 ，，…， （ 显然有 ）。 于是，在第个特征点处，两个人的指纹