二、标量场及其梯度.pptVIP

* 第二节 标量场及其梯度 1、标量场定义及图示 对于区域V内的任意一点r，若有某种物理量的一个确定的数值或标量?(r)与之对应，我们就称这个标量函数?(r)是定义于V内的标量场。 o r f (r) V 标量场有两种： 与时间无关的恒稳标量场，用?(r)表示； 与时间有关的时变标量场，用?(r , t)表示。 形象描绘场分布的工具--场线 标量场--等值线(面)。 其方程为 f = -1 f = 1 f = 0 f = 2 f = 3 图1-9 标量场的一组等值线 作图原则：任意两相邻等值面间标量场的差值保持为一常数。 2、梯度 点位移导致?的改变 (x , y , z) (x+dx , y+dy , z+dz) ?+d? ? dl y z x o 线元矢量： dl = dx ex+dy ey+dz ez 标量场的相应微增量d?则为： (1)梯度的导出 右图中，由(x,y,z)点到邻近的(x+dx,y+dy,z+dz)点的微分位移dl 将导致场函数有一微分增量df 标量场?(x,y,z)在(x,y,z)点的梯度(gradient) 定义为： 因此 （dx ex+dy ey+dz ez） (2)方向导数与梯度的关系 偏导数 、 、 分别叫做? 在x、y、z方向上的方向导数，用梯度表示为 推广到?(x,y,z)在某点沿任意矢量l 方向的方向导数，则应表为 式中，el 是l 的单位矢量。 （3）梯度的物理意义 梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数 的增加方向. 梯度的大小为该点标量函数 f 的最大变化率，即该点最大方向导数； 标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数； 例1 电位场的梯度 电位场的梯度 与过该点的等位线垂直； 指向电位减少的方向。 数值等于该点的最大方向导数； 电位场的梯度 （4）哈密顿算子 （读作del或nabla） 直角坐标系中的具体形式为 单独存在没有任何意义； 算符虽然不是一个真实矢量，但在运算中，必须视为矢量，并令它具有矢量的一般特性，即 ， 。 在不同坐标系中， 算符有不同的表达形式。 使用 算符时注意几点： 梯度运算的基本公式 掌握： 1、如何求梯度； 2、梯度的性质； 3、梯度的数学应用。 （5）梯度运算的几个基本关系式 相对坐标标量函数 f(r?r?) 证明 ：在直角坐标系中f (r?r?) = f (x? x?，y? y?，z? z? ) 令 x? x? = X，y?y ?= Y，z?z? = Z，应用复合函数求导法则可得 即有 同理可得 上式重写为 等式若成立，则应有 证毕。 相对位置矢量R = r?r?的模R = ?r?r?? 在直角坐标中 则 同理有 于是 根据算符的微分特性可得 （R ? 0） 例 2 求 f = 4e 2x? y+ z 在点P1（1，1，?1）处的由该点指向P2（?3，5，6）方 向上的方向导数。 解： 于是，f 在P1 处沿R12 方向上的方向导数为： *