中山大学数学分析教案.ppt

目录 目录 第十章 数项级数 §5 无穷级数与代数运算 有限和中的运算律，如结合律，交换律，分配律，在无穷和中均不成立。具体地，我们有下面的一些结论。 1. 结合律 2. 交换律 仅仅对于绝对收敛的级数，交换律成立 而对于条件收敛的级数，是靠正负抵消才可求和的，故重排后结果将任意。可见，绝对收敛才是真正的和。 定理 10.21（Riemann) 3. 分配律 同样的，仅仅对于绝对收敛的级数，交换律成立 第十一章 广义积分 §1 无穷限广义积分 定积分的两个限制 积分区间的有界性 被积函数的有界性 实践中，我们却经常要打破这两个限制。如：关于级数收敛的Cauchy积分判别法；概率统计中，随机变量的空间通常是无限的；第二宇宙速度；物理中的 函数；量子运动；‥‥‥ 无穷限积分的定义 设函数 在 有定义，在任意有限区间 上可积。若 存在，则称之为 在 上的广义积分，记为 此时亦称积分 收敛；若 不存在，则称积分 发散。 类似地，我们可以给出其它无穷积分的定义： 1. 2. 当 ， 均收敛时，定义 显然， 的值与 的选取无关。 常用积分 线性：当 ， 均收敛时， Chauchy 收敛原理 收敛 TH11.2 收敛 收敛。 Def . 绝对收敛 收敛； 条件收敛 发散而 收敛。 比较判别法I（直接比较） 比较判别法II（用极限比较） 比较判别法III（与 比较） 特别地，我们若可利用Taylor公式，求得 Question 我们将参照物取为幂函数 ，而有了上述的比较判别法；那么，将参照物取为指数函数 ，结果又如何呢？ 无穷限的广义积分有着与级数非常类似的比较判别法，都是通过估计其求和的对象大小或收敛于0的速度而判断本身的敛散性；而且，我们还有Cauchy积分判别法，使某些级数的收敛与某些无穷限积分的收敛等价了起来。那么，是否可以将关于级数中结论推广至无穷限积分中来呢？某些结论不能推广的原因是什么呢？ 积分第二中值定理 设 在 上可积， 在 上单调，则 特别地，若 单调上升且 ，则 若 单调下降且 ，则 几何解释（ 情形） 两个收敛判别法 (Dirichlet) (Abel) 两个有用的结果 习题 ( P.57 ) 1. (2) (4) (5) 2. (1) (9) (10) (14) (16) 3. (1) (3) (5) 9. §2 瑕积分 Def 11.2 设函数 在 有定义，在任意区间 上可积，在 无界。若 存在，则称瑕积分 收敛，且积分值为该极限值，记为 若 不存在，则称瑕积分 发散。 类似地，瑕点非左端点的瑕积分的定义为： 1. 若 为瑕点， 2. 若 为瑕点，则当 ， 均收敛时，定义 常用积分 线性：当 瑕积分 ， 均收敛时， 暇积分与无穷限积分的关系 设 有唯一瑕点 ，令 ，我们有 如是，我们可以将无穷限积分的性质推广至瑕积分中来。下面，我们不加证明地把关于瑕积分的收敛判别法列举出来。