初二数学竞赛辅导讲座（教案）.doc

第一讲《几何图形中角度、长度、面积的计算》 角度计算——角度计算在数学竞赛中是经常遇到的一类几何问题，它用到的基础知识不多，主要是三角形内角和定理与推论、多边形内角和定理、等腰三角形、直角三角形等性质． 1、计算类： 例1：如图，已知，△ABC中， AB=AC，AD=AE， ∠BAD=300,求∠EDC． 解：设∠B=∠C=，∠ADE=∠AED=，∠EDC=x，由题意得， 解得：x=∠EDC=150 例2：如图，已知，ΔABC中，AC=AD， BC=BE，∠ACB=1000，求∠ECD． 解：设∠BEC=∠ECB=，∠ACD=∠CDA=， ∠ ECD=x，在ΔCED 中， 由题意得， 解得；∠ECD=x=400 例3：如图，已知，AB=BC=CD，AD=AE，DE=BE，求∠C的度 数． 解：设∠A=∠C=x，∠CBD=∠CDB=，∠EDB=∠EBD=，则∠ADE= ∠AED=2，由题意得： 解得,∠C=X=360 2、转移类 例1：如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数． 解：因为∠A+∠D=∠GFC，∠B+∠E=∠CGF，所以，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠GFC+∠CGF+∠C=1800． 例2：如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．（91年“希望杯”全国数学邀请赛初二二试试题） 解：连结BE，在ΔBOE与ΔCOD中，有∠OBE+∠OEB=∠C+∠D，所以，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠A+∠ABE+∠BEF+∠F=3600． 3、证明类： 例1：如图，已知，D、P分别为等边ΔABC内外一点，且DA=DB，AB=BP，∠DBP=∠DBC，求∠BPD的度数． 解：连PD、DC，∵∠DBP=∠DBC，BD=DB，AB=BP=BC，∴ΔBDP≌ΔBDC，∴∠BPD=∠BCD，又∵AD=BD，DC=DC，AC=BC，∴ΔACD≌ΔBCD， ∴∠BCD=,∴∠BPD=300． 例2：如图，点C在BD上，ΔABC和ΔDCE都是等边三角形，G、H分别是BE、AD的三等分点，求∠GCH的度数． 解：∵ΔABC、ΔDCE都是等边三角形，AC=BC，CE=CD，∠ACD=∠BCE=1200，∴ΔACD≌ΔBCE，∠CBE=∠CAD，AD=BE， 又∵G、H分别为BE、AD的三等分点，BG=AH=BE=AD， ∴ΔBCG≌ΔACH，∠BCG=∠ACH，又∠BCG+∠GCA=600， ∴∠GCA+∠ACH=600，即∠GCE=600． 二、长度计算——求线段的长度一般利用勾股定理或全等三角形和圆的有关性质，常采用解方程（组）或整体法求得． 例1：如图，在矩形ABCD内的点P到A、B、C的长PA=3，PB=4，PC=5，求PD的长． 解：过P作PEDC，PF⊥AD，PGAB，垂足分别为E、F、G，设PD=x，PE=a，PF=b，PG=c，GB=d，在RtΔPFA中，b2+c2=32（1）；在RtΔPGB中，d2+c2=42（2）；在RtΔPEC中，a2+d2=52（3）；在RtΔPED中，a2+b2=x2（4）；则 (2)-(1)得，d2-b2=7（5），（3）-（4）得，d2-b2=25-x2（6），由（5）、（6）得， PD=x=3． 例2：如图，在矩形ABCD中，AB=7cm，AD=10cm，设经过顶点A的直线AE为折痕，折叠过来，使顶点D与BC边上的某点F重合，试求BF、DE的长度． 解：∵ΔABF为直角三角形，∴BF2=AF2-AB2，BF=，又 ∵ΔFCE为直角三角形，∴EF2=EC2+FC2， 又CF=BC-BF=10-，EF=DE，CE=7-DE， ∴DE2=CE2+CF2=（7-DE）2+（10-）2， ∴DE2=DE2+49-14DE+100-20+51，∴DE= ． 例3：如图，ΔABC三边分别为BC=17，CA=18，AB=19，过ΔABC内的一点P向ΔABC三边分别作垂线PD、PE、PF（D、E、F为垂足）且BD+CE+AF=27，求BD+BF的长．（89年全国部分省市初中数学通讯赛试题） 解：设PF=h1，PD=h2，PE=h3，BD=x，CE=y，AF=z，则DC=17-x，AE=18-y，BF=19-z，由题意得：h21+（19-z）2=h22+x2 （1）；h22+（17-x）2=h32+y2 （2）；（18-y）2+h23=h21+z2 （3）；