有限元简明教程(2009.06.09).docVIP

有限元简明教程 赵　奎　袁海平　编著 冶金工业出版社 前 言 有限单元法是当前工程技术领域中最常用最有效的数值计算方法，首先在结构分析，而后又在其他领域中得到广泛应用，已成为现代工程设计技术不可或缺的重要组成部分。由于有限元可以解决流体、电磁场、弹性、弹塑性等各种工程问题，同时，学习该课程所应具备的基础知识较多，如变分法、各种变分原理（最小势能原理、余能原理等），数值分析（计算方法）、计算机编程等，而且有限元公式可以从各种不同方法得到，往往使初学者感到难以在较短的时间内掌握本课程的要旨。为了能够在有限的时间内掌握有限元的实质，能够达到自己编制平面问题的程序，使用通用有限元软件所应具有的基础知识和基本技能之目的，本教材以“虚功原理”为主线，将一维及平面弹性力学有限元建立起来，更为详细的研究则在以后科研工作中结合实际工程问题进行专项学习。 本书由赵奎、袁海平编著，适合于岩土工程、采矿工程、工程力学、机械工程、水利工程等工科专业硕士研究生和本科生教材，及从事相关专业工程人员学习使用。编者多年从事研究生与本科生有限单元法课程的教学工作，编写时力求深入浅出、概念清晰、思路简明、系统性强。在学习的过程中应注意：定理、原理、公式等，有些是通过严格数理推导得到的，如弹性力学经典的平衡方程、几何方程等，有些则是基于大量客观事实归纳统计得到的。对于前者，尽可能熟知推演过程及所采用数学方法；对于后者，则应尽可能多考虑其所揭示的问题之本质。 本书依次介绍了有限单元法的理论基础、杆系结构单元、平面三角形单元、平面等参数单元，并对有限元线性方程组的求解方法进行了介绍。为了增强本书的实用性，最后用一章的篇幅介绍了在使用有限元时的相关注意问题。博士生王晓军、金解放、赵康、付玉华、江文武等及硕士生黄晖、周雄超、苏成哲、龚囱、胡京涛等帮助查阅了大量资料并做了大量文字整理方面的工作。笔者在此一并致以深切谢意。另外，本书参考文献较多，有些文献未能一一列出，在此谨向这些文献的作者表示衷心感谢。 由于作者水平有限，加上时间仓促，书中难免有欠缺、不妥甚至谬误之处，恳请各位专家、学者和广大读者批评指正。 赵　奎　袁海平 2009 年 3 月 目 录 主要符号表 V 第一章　绪 论 1 1.1 概述 1 1.2 有限元法的分析过程 2 1.3 有限元法的发展历程 4 习 题 5 第二章　有限单元法理论基础 6 2.1 有限元原理与变分原理的关系 6 2.2 弹性力学基本方程 6 2.2.1 平衡方程 8 2.2.2 几何方程 9 2.2.3 物理方程 10 2.3 虚功原理 11 2.3.1 虚位移 11 2.3.2 外力虚功与内力虚功 11 2.3.3 实功与虚功 12 2.3.4 虚应变能 13 2.3.5 虚功原理 13 2.4 位移模式与形函数 16 2.4.1 位移模式 16 2.4.2 形函数 17 2.5 刚度与刚度矩阵 17 习 题 19 第三章　杆系结构单元 20 3.1 引言 20 3.2 简单杆系结构有限元分析 20 3.3 平面杆单元刚度矩阵 23 3.4 整体坐标系下的单元刚度矩阵 29 3.5 结构的结点平衡方程 29 3.6 算例分析及程序 30 3.6.1 算例分析 30 3.6.2 程序总框图及程序 34 习 题 46 第四章　平面三角形单元 48 4.1 简单三角形单元的位移模式 48 4.1.1 位移模式与形函数 48 4.1.2 位移函数的收效条件 51 4.2 应变矩阵、应力矩阵与单元刚度矩阵 53 4.2.1 单元应变，应变矩阵 53 4.2.2 应力矩阵 54 4.2.3 单元刚度矩阵 55 4.2.4 单元刚度矩阵的性质 56 4.3 等效结点载荷 57 4.3.1 集中力的移置 57 4.3.2 体力的移置 58 4.3.3 面力的移置 58 4.3.4 线性位移模式下的载荷移置 58 4.4 整体分析 59 4.4.1 总体刚度方程 59 4.4.2 总体刚度矩阵的性质 61 4.5 位移边界条件的处理 62 4.5.1 对角元素改 l 法 63 4.5.2 乘大数法 64 4.5.3 降阶法 64 4.6 计算步骤与算例分析 65 4.6.1 求解过程及步骤 65 4.6.2 算例分析 67 4.7 计算成果的整理 77 4.7.1 绕结点平均法 78 4.7.2 两单元平均法 79 4.8 平面问题高次单元 79 4.8.1 位移模式 79 4.8.2 位移插值函数 82 4.8.3 单元的刚度矩阵 83 习 题 85 第五章　平面四边形等参数单元 88 5.1 引言 88 5.2 四节点等参单元 88 5.2.1 位移模式与形函数 88 5.2.2 单元应变矩阵 93 5.2.3 应力矩阵 95 5