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2. 利用柱坐标计算三重积分 就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系: 坐标面分别为 圆柱面 半平面 平面 如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为 因此 其中 适用范围: 1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ; 2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离. 其中?为由 例4. 计算三重积分 所围 解: 在柱面坐标系下 及平面 柱面 成半圆柱体. 0 x z y 1 Dxy . Dxy: z = 1 锥面化为: 1 . 用哪种坐标？ 柱面坐标 例5. . . 3. 利用球坐标计算三重积分 直角坐标与球面坐标的关系 如图所示, 在球面坐标系中体积元素为 因此有 其中 适用范围: 1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单; 2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离. 例6. 计算三重积分 解: 在球面坐标系下 所围立体. 其中? 与球面 例7 求半径为a的球面与半顶角为?的内接锥面所围成的立体的体积? 解 该立体所占区域?可表示为? 0?r?2acos?? 于是所求立体的体积为 此球面的方程为x2?y2?(z?a)2?a2? 即x2?y2?z2?2az? 在球面坐标下此球面的方程为r2?2arcos?? 即r?2acos?? 0????? 0???2?? 例7 求半径为a的球面与半顶角为?的内接锥面所围成的立体的体积? 解 该立体所占区域?可表示为? 于是所求立体的体积为 0?r?2acos?? 0????? 0???2?? 解 则 在球面坐标系下 为 解 取半球体的对称轴为 轴，原点取在 球心上，设球的半径为 . 空间物体的转动惯量 解 原点取在球心上，设球的半径为 . 轴与 轴重合，则球体占有空间闭区域 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 6.2 三重积分 一、三重积分的概念 二、三重积分的计算 一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用 ? 引例: 设在空间有限闭区域 ? 内分布着某种不均匀的 物质, 求分布在 ? 内的物质的 可得 “分割取近似，求和取极限” 解决方法: 质量 M . 密度函数为 设f(x? y? z)是空间有界闭区域?上的有界函数? 将?任意分成n个小闭区域 ?v1? ?v2? ? ? ? ? ?vn 其中?vi表示第i个小闭区域? 也表示它的体积? 在每个小闭区域?vi上任取一点(?i? ?i? ?i)? 作和 三重积分的定义 如果当各小闭区域的直径中的最大值?趋于零时? 这 和的极限总存在? 则称此极限为函数f(x? y? z)在闭区域? 上的三重 称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 二、三重积分的计算 1. 利用直角坐标计算三重积分 方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法3 . 三次积分法 x 0 z y z2(x,y) ?为图示曲顶柱体 I = P N M . . ? D z1(x,y) 方法1 . 投影法 (“先一后二”) x 0 z y z2(x,y) I = D ?为图示曲顶柱体 这就化为一个定积分和 一个二重积分的运算 z1(x,y) . 方法1 . 投影法 (“先一后二”) x 0 z y c1 c2 z ? Dz 先做二重积分，后做定积分 方法2 . 截面法 (“先二后一”) x 0 z y c1 c2 ? . 先做二重积分，后做定积分 z Dz 方法2 . 截面法 (“先二后一”) x 0 z y c1 c2 ? I = . 先做二重积分，后做定积分 z Dz 方法2 . 截面法 (“先二后一”) x 0 z y c1 c2 . ? 先做二重积分，后做定积分 I = 方法2 . 截面法 (“先二后一”) 投影法 方法3. 三次积分法 设区域 利用投影法结果 , 把二重积分化成二次积分即得: 小结: 三重积分的计算方法 方法1. “先一后二” 方法2. “先二后一” 方法3. “三次积分” 具体计算时应根据 三种方法各有特点, 被积函数及积分域的特点灵活选择. z =0 y = 0 x =0 0 y x ?：平面 x= 0, y = 0 , z =