4.弹性势能的外势能不具有伽利略变换的不变性.docVIP

4.弹性势能的外势能不具有伽利略变换的不变性 摘　要：文章分析了关于外势能的弹性势能机械能守恒定律满足力学相对性原理，也具有单独的协变性，弹性势能不具有伽利略不变性，解决了关于这个问题的争论． 关键词：轻质弹簧；性质定理；伽利略不变性；力学相对性原理；机械能守恒 中图分类号：O 313.1 　　　　　　　　　　　　　 文献标识码：A 参考文献[1]- [11]都有这样一个题目： 一质量为m的小球与一劲度系数为k的轻质弹簧相连组成一体系，置于光滑水平桌面上，弹簧的另一端与固定墙面相连，小球做一维自由振动．试问在一沿此弹簧长度方向以速度u相对于作匀速运动的参考系里观察，此体系的机械能是否守恒，并说明理由． 本题是质点力学问题，由于力只能作用在有质量的物体之上，弹簧抽去其质量属性后（如果考虑弹簧具有微弱的质量，在地面系观察弹簧振子的运动也不是简谐振动，墙壁对于弹簧的作用力也不再始终等于弹簧对于振子的作用力.）只是作为施加弹力的工具（这是理想化模型，类似于导线抽取电阻、电感等属性后用电器的电压等于电源两端的电压一样）,墙壁对于系统的作用点就是小球，而不是轻质弹簧(换句话说，牛顿力学本身就是超距作用——忽略场的质量)．功的定义为力与质点位移，如果认为弹簧的端点为作用点，作用点的位移与质点的位移便不再相等，显然矛盾. 小球与弹簧组成弹簧振子体系，所以小球的机械能就是弹簧振子体系的机械能（因为弹簧质量为0，没有质量代表没有能量，验证了爱因斯坦的质能方程，与实验中的弹簧不一致.）；在这里的研究对象只有一个质点（不能认为是一个准多体动力模型），在弹簧振子中的势能是一种特殊形式的势能，由于不考虑弹簧的质量，因此可以类比场能（在经典力学里场不考虑质量，可以不用考虑场——轻质弹簧的能量，例如质点在重力场中运动我们只考虑质点的势能，没有考虑重力场的能量，在弹簧振子问题中是振子的弹性势能，不是弹簧的弹性势能.这和实验中的弹簧不一样，实验中的弹簧都有质量，也具有弹性势能，这是理解这个问题的关键点所在.）.在某种意义上可以和重力场类比，只不过这里可以吸引和排斥，力的强度与位移成正比.我们研究重力场质点的运动时，我们并没有把地球对于重力场的作用力和重力场对于质点的作用力说成是两个力,类似地在单摆问题中我们并没有把悬挂点对于摆线的作用力和摆线对于摆锤的作用力看成是两个力，在这个问题中约束力和保守力是同一个力，笔者认为单摆的摆线（也认为质量为0）可以认为是劲度系数充分大的弹簧. 由于本题假设地球质量为充分大，因此本题中没有内势能，只有外势能.牛顿力学建立之初，物理学还没有引入场的概念，不过今天来看，近似看做是一种场是最合适的表达，此时不用考虑场的质量.虽然这个场的强度是时间t的函数，但是它巧妙地分配动能和势能，机械能的总量不变（下面的证明验证了这一点）.弹簧固定在墙上，墙对弹簧的约束反力是被动力，依赖弹力而存在，不可单独考虑墙壁的作用力，弹力是稳定的周期力，振动的弹簧小球系统是一个稳定态系统，不能误认为是显含时间的力（朗道的书《力学》中说，在惯性参考系中自由运动的质点，由于时间和空间的均匀性和各向同性，表征它所用的拉格朗日函数不显含时间和广义坐标和速度的方向）.根据理论力学对于稳定系统，约束力不做功.如果弹簧振子在小车系是显含时间的力，动能定理的计算是按照等时积分还是随体积分，动能定理满足伽利略变换可是没有争议. 在物理中，稳态和静态还不同，例如重力场是静态场，在本题中的弹力场是稳态场.对于力场不随时间改变的稳定力场来说，等时路径积分与随体积分是相等的，所以势函数的定义就没有积分的等时间性要求，甚至也没有根据质点实际的动力学随体计算的要求，完全可以随轨迹以任何速度计算积分，结果都一样，并且为简单起见，势能的零点位置应该固定不变. 我们当初定义弹性系数的时候，利用一端受力，另一端虽然受力但是我们不予考虑，所以在本题中如果再单独计算墙对于弹簧做功就重复了，才出现了机械能不守恒的错误.如果考虑墙对于弹簧所做的功，显然可以测量出小车相对于墙的运动速度,这与力学相对性原理(不可能借助在惯性系中所做的力学实验来确定该参考系做匀速直线运动的速度)是不符合的. 解法1：（地球的质量视为充分大，从而稳定地保持为惯性系） 在地面参照系上观察时，以弹簧未被压缩和拉伸时的小球所处位置（平衡位置）为坐标原点，以水平向右的直线ox为x轴，建立直线坐标系如图1所示． 当t?0时刻，将小球向右拉至最大振幅并放手，使之做简谐振动，则小球的位移为： x?Acos(ωt)，其中ω2?k/m，k?mω2． 设小球的速度为v，加速度为a，受到的力为f，动能为Ek(t)，势能为Ep(t)，机械能为E(t)．则有： v ????ωAsin(ωt)，a ????ω2Acos(ωt)，f?ma??mω2