9.4 重积分的应用.pptVIP

§9.4 重积分的应用 一 曲面的面积 物理应用 * 一 曲面的面积 则 所以 设 在 偏导数， 上有连续 注： ① 曲面 的方程是 且它在 面上 的投影区域为 则曲面 的面积为 ② 曲面 的方程是 且它在 面上 的投影区域为 则曲面 的面积为 例1 求曲面 在圆柱面 之内 的那部分面积。 解 落在 内的那部分面积 例2 求圆锥面 夹在两圆柱面 之间的那部分面积。 解 落在 那部分面积 内的 例3 求球面 被平面 所截得的上面部分的面积。 解 该曲面可以看成球面 落在 内的部分， 其面积为 注： 当 时， 得到上半球面的面积 。 例4 求圆柱面 被圆柱面 所 截下的在第一卦限中的那部分面积。 解 记 则 所求那部分曲面的面积为 二 物理应用 1 质心 （1）平面薄片的质心 设平面薄片在 面上占有有界闭区域 ，其面密度 为 对 轴的静矩 对 轴的静矩 若将平面薄片 的质量集中在一点 使得 对 轴的静矩不变， 轴与 则称这一点 为平面薄片 的质心。 因此 （这就是平面薄片 的质心坐标计算公式） 特别， 当 时， （即平面薄片是均匀分布的） 其中 是平面薄片 的面积。 此时 即为 的形心。 例5 设 是由直线 所围成的三角 形薄片，其面密度为 求 的质心。 解 即 的质心为 例6 求位于两圆 与 之间的均匀 薄片的质心。 解 由于薄片是均匀的， 而且薄片关于 轴 对称， 所以 又因为 所以 的面积 即 的质心为 （2）空间物体的质心 ，其体密度为 设物体在空间中占有有界闭区域 则它的质心 为： *