数学分析第六章第6节.ppt

* * §6.4 曲线的凹凸与拐点 前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于了解函数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯曲方向。 o y x L3 L2 L1 A B 如右图所示L1 ，L2 ，L3 虽然都是从A点单调上升到B点，但它们的弯曲方向却不一样。 L1 是“凹(上凸)”弧，L2是“凸(下凸)”弧 ，L3既有凸弧，也有凹弧，这和我们日常习惯对凹凸的称呼是不一致的。 K切=f?(x)0 y单调递增 凡呈凸型的弧段其切线总位于曲线的下方. 凡呈凹型的弧段其切线总位于曲线的上方. K切=f?(x)0 y单调递减 x0 y0 p x0 y0 y=f(x) p x y y x o o 几何特征Ｉ y=f(x) 连续曲线的凹弧段与凸弧段有分界点. 一、曲线凹凸的定义 问题:如何研究曲线的弯曲方向? 图形上任意弧段位 于所张弦的上方(凹函数) 图形上任意弧段位 于所张弦的下方(凸函数) 的值分别是 曲线的凹凸与拐点 定义 若曲线y=f(x)在某区间内位于其切线的上方.则称该曲线在此区间内是凸的,此区间称为凸区间.?若曲线位于其切线的下方,则称该曲线在此区间内是凹的,此区间称为凹区间. x y o θ 1 θ 2 θ 3 a b x y o θ 1 θ 2 θ 3 a b 几何特征Ⅱ 凸型曲线:切线的斜率随着X的增大而增大. 凹型曲线:切线的斜率随着X的增大而减小. ? ? ? ? ? ? x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 二、曲线凹凸的判定 证明 分别应用L—定理，得 两式相减，得 由假设 这就证明了 同理可证（1） 注 定理的结论可推广到任意区间上 例1 解 注意到, 三、曲线的拐点及其求法 1.定义 注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 2.拐点的求法 例2 解 凸的 凹的 凸的 拐点 拐点 解 注意: