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数列复习课的习题设计 松江九峰实验学校 肖丹 一、数列这一节的教材分析 第七章数列与数学归纳法中的第一节数列从内容上看，可以分为数列、等差数列、等比数列三个部分。在这一部分，主要介绍数列的概念、分类，以及给出数列的两种方法关于数列的概念，先给出了一个描述性定义，尔后又在此基础上，给出了一个在函数观点下的定义，指出：“从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，所对应的一列数”。这样就可以将数列与函数联系起来，不仅可以加深对数列概念的理解，而且有助于运用函数的观点去研究数列。 教材给出数列的三种表示方法：图象法、数列的通项公式法、递推公式法。其中数列的通项公式，教材已明确指出它就是相应函数的解析式。点破了这一点，数列与函数的内在联系揭示得就更加清楚。此外，正如并非每一函数均有解析表达式一样，也并非每一数列均有通项公式(有通项公式的数列只是少数)，因而研究递推公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展。递推是数学里的一个非常重要的概念和方法，数学归纳法证明问题的基本思想实际上也是“递推”。在数列的研究中，不仅很多重要的数列是用递推公式给出的，而且它也是获得一个数列的通项公式的途径：先得出较为容易写出的数列的递推公式，然后再根据它推得通项公式。另外，学会用框图来表示数列。 在等差数列这一部分，在讲等差数列的概念时，突出了它与一次函数的联系，这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：从图象上看，为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两项可以决定一个等差数列(从几何上看两点可以决定一条直线)。在推导等差数列前n项和的公式时，突出了数列的一个重要的对称性质：与任一项前后等距离的两项的平均数都与该项相等，认识这一点对解决问题会带来一些方便。 在等比数列这一部分，在讲等比数列的概念和通项公式时也突出了它与指数函数的联系这不仅可加深对等比数列的认识，而且可以对处理某类问题的指数函数方法和等比数列方法进行比较，从而有利于对这些方法的掌握。 二、数列这一节的重点与难点 1．重点：等差数列与等比数列的概念，它们的通项公式及前n项之和。 2．难点：等比数列的前n项之和，数列知识的综合应用。 三、教学过程：（建议分四堂课） （一）、数列的知识结构 （二）、知识纲要 (1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列． (2)等差、等比数列的定义． (3)等差、等比数列的通项公式． (4)等差中项、等比中项． (5)等差、等比数列的前n项和公式及其推导方法． （三）、方法总结 1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想． 2．等差、等比数列中，a、、n、d(q)、 “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法． 3．求等比数列的前n项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想． 4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等． （四）、等差数列 1.相关公式： 定义：（2）通项公式：（3）前n项和公式：（4）通项公式推广： 2.等差数列的一些性质 （1）对于任意正整数n，都有 （2）的通项公式 （3）对于任意的整数，如果，那么 （4）对于任意的正整数，如果，则 （5）对于任意的正整数n1，有 （6）对于任意的非零实数b，数列是等差数列，则是等差数列 （7）是等差数列，则也是等差数列 （8）等都是等差数列 （9）是等差数列的前n项和，则 仍成等差数列，即 （10）若，则 （11）若，则 （12），反之也成立 （五）、等比数列 1相关公式： （1）定义： （2）通项公式： （3）前n项和公式： （4）通项公式推广： 2.等比数列的一些性质 （1）对于任意的正整数n，均有 （2）对于任意的正整数,如果，则 （3）对于任意的正整数，如果，则 （4）对于任意的正整数n1,有 （5）对于任意的非零实数b，也是等比数列 （6）已知是等比数列，则也是等比数列 （7）如果，则是等差数列 （8）数列是等差数列，则是等比数列 （9）等都是等比数列 (10)是等比数列的前n项和， ①当q=－1且k为偶数时，不是等比数列. ②当q≠－1或k为奇数时， 仍成等比数列 （六）、数列前n项和 重要公式： ； （2）等差数列中， （3）等比数列中， （4）裂项求和：； （5）等比、等差数列和的形式： （七）等差与等比的互变关系： （七）、例题讲解 一、类比思想在数列中的应用 例1.等差数列{an}的前n项的和为30，前2m项的和为100，求它的前3m项的和 解法一 将Sm=30,S2m=100代入Sn=na1+d,得