信息论与编码理论基础(第六章).ppt

第六章：线性分组码 §6.1 分组码的概念(与主教材标题不同) §6.2 线性分组码 §6.3 线性分组码的校验矩阵(与主教材标题不同) §6.5 译码方法和纠错能力(与主教材标题不同) §6.4 、§6.6、§6.7、§6.8 一些特殊的线性分组码 §6.1 分组码的概念 设信道是一个D元字母输入/ D元字母输出的DMC信道，字母表为{0, 1, …, D-1}。其信道转移概率矩阵为D×D矩阵 传输错误的概率为 p。信道容量为 C=logD-H(p)-plog(D-1)。 §6.1 分组码的概念 对随机变量序列X1X2…进行的信道编码为(N, L)码：(X1X2…XL)→(U1U2…UN)=C(X1X2…XL)。 这个(N, L)码又称为(N, L)分组码。 已经有结论：当设备所确定的编码速率RC/H(X)时， 存在(N, L)分组码，使得 实际编码速率 (信息率L/N)任意接近R， 译码错误的概率任意接近0。 问题是：怎样构造这样的分组码？这样的分组码的编码、译码计算量会不会太大？（这才是研究分组码的含义） §6.1 分组码的概念 预备知识1：有限域 设D是一个素数。于是字母表{0, 1, …, D-1}中的所有字母关于(modD)加法、(modD)乘法构成了一个封闭的代数结构，称作有限域，又称作Galois域，记作GF(D)： GF(D)=({0, 1, …, D-1}, (modD)加法, (modD)乘法)。 即 （1）({0, 1, …, D-1}, (modD)加法) 构成交换群（Abel群）。 （2）({1, …, D-1}, (modD)乘法) 构成交换群（Abel群）。 （3）分配率成立：a(b+c) (modD) =ab+ac(modD)。 §6.1 分组码的概念 注1：如果D不是素数， ({0, 1, …, D-1}, (modD)加法, (modD)乘法)不是有限域，只是有限环。 注2：有限域GF(D)上的线性代数完全类似于实数域上的线性代数，线性代数的所有内容都在“加法”和“乘法”基础上得到。 元素的“加法”负元；非0元的“乘法”逆元； 一组向量是否“线性无关”的概念以及所有等价的判别方法； 矩阵的“秩”的概念以及所有计算方法； 方阵是否“可逆”的所有判别方法； 求方阵的“逆阵”的所有算法； 关于对称矩阵的所有结论；等等。 注3：有限域GF(D)与实数域的区别是：传统的“逼近”、“极限”的概念消失了。 例：取D=2，则GF(2)=({0, 1}, (mod2)加法, (mod2)乘法)。运算规则为： 0+0=1+1=0，0+1=1， 0×0=0×1=0，1×1=1。 方阵 是否可逆？回答是肯定的。两种不同的判 别方法都能够证明它是可逆的 ： （1）它经过可逆行变换能够变成单位阵； （2）它的行列式不等于0。（等于1！） §6.1 分组码的概念 该方阵的逆矩阵是什么？ 怎样计算？做联合可逆行变换： §6.1 分组码的概念 例：取D=3，则GF(3)=({0, 1, 2}, (mod3)加法, (mod3)乘法))。运算规则为：0+0=1+2=0，0+1=2+2=1，0+2=1+1=2， 0×0=0×1==0×2=0，1×1=2×2=1，1×2=2。 矩阵 是不是满行秩的？ 换句话说，此矩阵的三个行向量是不是在域GF(3)上线性无关的？再换句话说，能否保证此矩阵的各行的任何非0线性组合都不是全0的4维向量？再换句话说，此矩阵能否通过一些可逆行变换变成一个“阶梯阵”？ §6.1 分组码的概念 可逆行变换 §6.1 分组码的概念 例：域GF(D)上的一个L行N列的矩阵（L×N阶的矩阵）G，设它是满行秩的（当然此时有L≤N）。则变换 (u1, u2, …, uN)=(x1, x2, …, xL)G 一定是单射(即(x1, x2, …, xL)的不同值一定变换为(u1, u2, …, uN)的不同值)。 证明 设u(1)=x(1)G， u(2)=x(2)G ，且x(1)≠x(2)。要证明u(1)≠u(2)。根据线性性质， u(1)-u(2)=(x(1)-x(2))G， 因为(x(1)-x(2))≠全0的L维向量，所以(x(1)-x(2))G是G的各行的非0线性组合。G满行秩，所以(x(1)-x(2))G≠全0的N维向量。所以u(1)≠u(2)。 §6.1 分组码的概念 预备知识2：有限域上的分组码 当D是素数时，分组码可以充分利用有限域GF(D)的代数运算，使得编码和译码更加简便。 §6.2 线性分组码 定义 取GF(D)上的