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反思数学思想方法提高教学有效性 丹阳市第五中学（212300） 汤秀财 　数学思想方法是数学知识的高度抽象和概括，它蕴含在数学知识发生、发展和应用的过程中。当题目解决后，教师因势利导地让学生回顾反思，体会自己的研究过程，感悟其中的数学思想和技巧，使得学生的创造性活动得到再次升华。本文就反思圆锥曲线最值问题中所体现的数学思想方法作一些探究。 数形结合思想 数形结合思想是重要的数学思想方法，利用图形性质来研究数量间关系的常用方法。解题是若能正确理解题意，借助图形分析问题，将会直观、简捷。 点Ｍ和Ｆ分别是椭圆上的动点和右焦点，定点B（2，2） ⑴求|MF|+|MB|的最小值 ⑵求|MB|+|MF|的最小值 解：易知椭圆右焦点F（4，0），左焦点F１（-4，0），离心率,准线方程 ⑴|MF|+|MB|=10-|MF1|+|MB|=10-（|MF1|-|MB|） 当M、B、F１三点共线时，|MF1|-|MB|最大 此时|MF|+ |MB|≥10-|F1B|=10- ⑵作MH垂直右准线于H，则，于是 反思：此类问题应用两个等价定义出发，再转化为平几中的问题：三角形两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边。利用数形结合求解，⑵式解法适合于椭圆、双曲线、抛物线的形如：的最小值问题。 设P（x,y）上运动，求的最大值 分析：把看作是（x,y），将y=2kx代入椭圆方程得 由△≥0得 ，所以的最大值为 反思：此类数形结合的思想方法适合于解决椭圆、圆、双曲线、抛物线题型中形如：求最值问题。 参数思想 如果动点P（x,y）上的点到直线的最大距离 解：设椭圆上任一点P的坐标为,则 点P到直线的距离 所以点P到直线的距离d的最大值为 本题也可用数形结合的方法解决问题，利用直线与椭圆相切，求出距离的最大与最小值。 椭圆上一动点P（x,y）），则 = 因为0a3,所以0 若0≤1 即0a≤ 当时 解得（舍去） 若1 即a 当时 解得a=2即为所求 反思：上述参数思想解法适用于圆、椭圆上动点到直线或到点距离的最值问题。 不等式思想 双曲线的离心率为，的离心率为，求的最小值 解：∵， ∴*（当且仅当a=b时取“=”） 分类讨论思想 由椭圆（ab0）） 此时-b≤y≤b 对称轴 ①当即时 ②当≤即≤时 函数思想 函数思想是一种通过构造，并应用函数解题的思想，在圆锥曲线求最值问题中经常应用。 过点A（8，0）作倾角为45o的直线，交抛物线于M、N两点，又作BC∥MN，交于B、C两点，设直线BC与MN之间的距离为m，当△ABC面积取最大值时，求直线BC的方程及m的值。 解：由题意=tan45o=1,故可设直线BC的方程为 又∵B、C两点在上，∴-8b1 (BC与相切时b=1) 将直线代入抛物线得 设 则 又A点到BC的距离 ∴S△ABC 令，则03， ∴ 令解得 又03 ∴ ∴ ∴直线BC的方程为，m的值为 对称思想 对称问题一般包括点对称、直线对称等，同时圆锥曲线自身的对称性在解题中也有重要应用。 若直线与椭圆相交于A、B两点，当t 变化时求|AB|的最大值。 分析：由直线与椭圆位置关系及椭圆的对称性得直线与椭圆相交所得最大弦长应为直线过椭圆中心时取得 将直线代入椭圆解得， 所以 在直线上任取一点P，且以椭圆的焦点为焦点作椭圆，当P点在何处时，所求椭圆的长轴最短？并求椭圆方程 解：设椭圆焦点为，连结，在同侧作关于的对称点 连结，则与的交点即为所求点，设 将代入 解得（-9，12） ∴的方程为： 与联立解得P（-5，4） 此时 ∴ 所求椭圆方程为 求圆锥曲线中的最值问题是高中教学中的一个重要环节，其中包含的数学思想并非彼此孤立，教会学生反思学习研究问题所涉及的思想方法，加深对数学思想方法的理解，从而使学生在具体问题中能利用相关数学思想从多方位、多角度去思考问题，拓宽思维、提高思维的灵活性和创造力，提高课堂教学的有效性。 3