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六章常微分方程数值解法
一. 初值问题
dy
f (x ,y )
dx x [a,b]
y (a) y 0
假设解存在唯一。
1. 欧拉方法与改进的欧拉方法
将区间[a,b] n 等分 并设 xi a i h , (i 0,1,L,n) 其中 h (b a) / n 。
dy
考察 | f (x , y (x )),
x x i i
dx i
y (x ) y (x )
离散化得 i1 i f (x , y (x ))
i i
h
y (x ) y (x ) h f (x , y (x ))
i1 i i i
故有近似式 （差分格式）： y y h f (x , y ) , (i 0,1,2,L,n 1)
i 1 i i i
（欧拉显式，又称为折线法）。
定义1. ( 整体截断误差) 称 为解在 处的整体截断误差。
e y (x ) y x
i i i i
定义2. 若 y i 1 是在y j y (x j ), (j i) 的假定下 由某数值方法得到的 y (x i1) 的近
似值，则称 为方法在 处的局部截断误差；如果一个
Ri 1 y (xi 1 ) y i 1 xi 1
数值方法的局部截断误差为 p 1 则称这个方法的阶数为 或称它
O(h ) p
为一个 阶方法。
p
分析Euler 公式的局部截断误差
y y h f (x , y ) 现假定 y y (x ).
i 1 i i i i i
h 2
( ) ( ) ( ) y (x )
y x i 1 y x i hy x i i
2
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