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维普资讯 第 19卷 第 2期 广 西 工 学 院学 报 V0l1．19 No．2 2008年6月 JOURNALOFGIIANGXIUNIVERSITYOF1rI J吼 ．2008 文章编号 1004．6410 (2008)02．0089．04 Riccati方程的一些新的可积性条件 庞建华 (广西工学院信息与计算科学系，广西柳州 545006) 摘 要：利用变量变换和初等积分法来研究Riccati方程的可积性条件，得到了一些Riccati方程可积的充分条件及其 通积分。 关 键 词：Riccati方程；可积性条件；通积分 中圈分类号：O175．1 文献标识码 ：A 0 引言 早在 1841年法国数学家刘维尔(Liouville)证 明了著名的黎卡提 (Riccati)方程 ：P(x)y+Q(x)v+R(z) (1) 一 般是不可积的(即不能用初等积分法求解)。“Riccati方程在历史上和近代都有重要的应用。例如， 它曾用于证明贝塞尔方程的解不是初等函数，另外它也出现在现代控制理论和向量场分支理论的一些问题 中[1】”。研究 Riceati方程可积的条件，一直是可积理论的重要课题[22]，许多数学家和学者都曾对 Riccati方 程的可积性做过大量的工作[ 】。西北大学的窦霁虹副教授和笔者在 2006年曾得到过Riccati方程 (1)的 一 些可积条件及其通积分[。本文继续利用变量变换的思想，得到了另外的一些可积条件及其在该条件下 的通积分。 为书写方便，记P(z)：P，Q(z)：Q，R(x)：R，Ux)：U，Ax)：A，并用J“”表示被积函数的任一 原函数。 1 主要结果 定理 1 如果存在函数Y0x)∈C 及常数 忌，使得条件 。]： (2) 成立，其中L[Yo]：一Yo+Py5+Qyo+R，则Riccati方程(1)有一个特解为 — — 1 。 — (3) k-f—Pdx+o 从而方程 (1)是可积的，其通积分为 ， 』(P+Q)如 一 。 (4) c — l J ’ dz 这里 C为任意常数。 证明：对 Riccati方程 (1)。设其有如下形式解 收稿 日期 ：2008一O2一lO 基金项 目：国家 自然科学基金项 目资助。 作者简介：庞建华 (1979一)，女，广西玉林人，广西工学院信息与计算科学系助教，在读硕士研究生。 维普资讯 广西工学院学报 第 l9卷 Y= +Y0 (为待定函数) 则将其代入方程(1)并整理有 一 P 一(2Py0+Qu)=尸y3+Qy0+R—Y0