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因子分析 公共卫生学院 一、前言 变量的相关性 公共因子？ 将多个实测变量转换成少数几个不相关的综合指数 二、因子分析模型 一般地，设X=(x1, x2, …,xp)’为可观测的随机变量，且有 f=(f1,f2,…,fm)’为公共（共性）因子(common factor)，简称因子(factor) e=(e1,e2,…,ep)’为特殊因子（specific factor） f和e均为不可直接观测的随机变量 μ=(μ1,μ2,…,μp)’为随机变量x的总体均值 A=(aij)p*m为因子负荷（载荷）（factor loading）矩阵 通常先对x作标准化处理，使标准化得到的新变量均值为零，方差为１．这样就有 假定（１）fi的均数为０，方差为１； （２）ei的均数为０，方差为δi； （３） fi与ei相互独立． 则称x为具有m个公共因子的因子模型 如果再满足（４）fi与fj相互独立（i≠j），则称该因子模型为正交因子模型。 正交因子模型具有如下特性： x的方差可表示为 设 （１）hi2是m个公共因子对第i个变量的贡献，称为第i个共同度（communality）或共性方差，公因子方差（common variance） （２）δi称为特殊方差（specific variance），是不能由公共因子解释的部分 因子载荷（负荷）aij是随机变量xi与公共因子fj的相关系数。 设 称gj2为公共因子fj对x的“贡献”，是衡量公共因子fj重要性的一个指标。 三、因子分析的步骤 输入原始数据xn*p，计算样本均值和方差，进行标准化计算（处理）； 求样本相关系数矩阵R=(rij)p*p； 求相关系数矩阵的特征根λi (λ1,λ2,…,λp0)和相应的标准正交的特征向量li； 确定公共因子数； 计算公共因子的共性方差hi2; 对载荷矩阵进行旋转，以求能更好地解释公共因子； 对公共因子作出专业性的解释。 四、因子分析提取因子的方法 主成分法（principal component factor） 每一个公共因子的载荷系数之平方和等于对应的特征根，即该公共因子的方差。 极大似然法（maximum likelihood factor） 假定原变量服从正态分布，公共因子和特殊因子也服从正态分布，构造因子负荷和特殊方差的似然函数，求其极大，得到唯一解。 主因子法（principal factor） 设原变量的相关矩阵为R=(rij)，其逆矩阵为R-1=(rij)。各变量特征方差的初始值取为逆相关矩阵对角线元素的倒数，δi’=1/rii。则共同度的初始值为(hi’)2=1- δi’=1-1/rii。 以(hi’)2代替相关矩阵中的对角线上的元素，得到约化相关矩阵。 (h1’)2 r12 … r1p r21 (h2’)2 … r2p R’= . . … . . . … . rp1 rp2 … (hp’)2 R’的前m个特征根及其对应的单位化特征向量就是主因子解。 迭代主因子法（iterated principal factor） 主因子的解很不稳定。因此，常以估计的共同度为初始值，构造新的约化矩阵，再计算其特征根及其特征向量，并由此再估计因子负荷及其各变量的共同度和特殊方差，再由此新估计的共同度为初始值继续迭代，直到解稳定为止。 Heywood现象 残差矩阵 五、因子旋转 目的：使因子负荷两极分化，要么接近于0，要么接近于1。 常用的旋转方法： （1）方差最大正交旋转 （varimax orthogonal rotation） 基本思想：使公共因子的相对负荷（lij/hi2）的方差之和最大，且保持原公共因子的正交性和公共方差总和不变。 可使每个因子上的具有最大载荷的变量数最小，因此可以简化对因子的解释。 （2）斜交旋转（oblique rotation） 因子斜交旋转后，各因子负荷发生了较大变化，出现了两极分化。各因子间不再相互独立，而彼此相关。各因子对各变量的贡献的总和也发生了改变。 适用于大数据集的因子分析。 六、因子得分 Thomson法，即回归法 回归法得分是由Bayes思想导出的，得到的因子得分是有偏的，但计算结果误差较小。 Bartlett法 Bartlett因子得分是极大似然估计，也是加权最小二乘回归，得到的因子得分是无偏的，但计算结果误差较大。 因子得分可用于模