平面向量基本定理教学设计.docVIP

“平面向量基本定理”教学设计 深圳中学　郭慧清 guohq@139.com 一、内容和内容解析 1．内容： 平面向量基本定理：如果向量、是同一个平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内的任意向量，必存在惟一对实数、，使。 这一定理是向量用坐标表示并将向量进行运算的基础。 定理的更一般的情形是：n维向量空间的任一向量均可由这个向量空间的一组基底惟一线性表示。 2．内容解析： 根据平面向量基本定理，在同一个平面内，对于确定的基底、，任意向量均对应着惟一的实数对。基于此，在平面直角坐标系中，当取分别与两个坐标轴同方向的单位向量作基底时，该坐标平面上的任一向量都可用惟一的实数对来表示。而此时，实数对亦是向量的起点在原点时向量终点的坐标，我们今后也就把这个坐标叫做向量的坐标了。 所以，平面向量基本定理是向量进行坐标表示，并由此进一步将向量的运算（向量的加、减法，向量的数乘、向量的数量积等）转化为坐标的数量运算的重要基础。因此，可以说是平面向量基本定理使向量成为沟通代数与几何的桥梁。在解决实际问题时，通常从问题中抽象出向量模型，再通过向量的坐标表示，利用代数运算获得问题的解决方案或结果，这是利用向量解决问题的基本特征。 平面向量基本定理不仅建立了向量的代数表示及向量运算的代数化问题，同时，它还是用基本要素（基底、元）表达事物，并把对事物的研究转化为对事物的基本要素的研究的典型范例，这对于人们掌握认识事物的方法，提高研究事物的水平，有着重要的地位与作用。 本课的教学重点是得出平面向量基本定理，并正确认识这一定理的重要作用。 二、目标和目标解析 1．理解平面向量的基底的意义与作用，利用平面向量的几何表示，正确地将平面上的向量用基底表示出来。 2．通过同一平面上的不同向量用同一基底表示的探究过程，得出并证明平面向量基本定理。 3．对于简单平面图形中的向量，会选择恰当的基底，将图形中的向量用基底表示出来。 4．通过平面向量基本定理，认识平面向量的“二维”性，并由此进一步体会“某一方向上的向量的一维性”，培养“维数”的基本观念。 5．平面向量基本定理建立了平面上的向量集合与二元有序数组的集合之间的对应关系（这种对应关系建立了非数对象与数（或数组）之间的一种映射），通过这种对应关系，我们可以将向量的运算转化为数的运算，由此达到简化向量的运算，这是数学的一种基本方法。 6．体会用基本要素（元）表示事物，或将事物分解成基本要素（元），由此达到将对事物的研究转化为对基本要素（元）的研究，通过对基本要素的内在联系的研究达到理解并把握事物的思想方法（例如全等）。 三、教学问题诊断分析 1．学生对向量加、减法及数乘等运算的意义与作用认识不够，容易将向量的运算与数的运算混淆，由此可能增加向量用基底表示时的难度。 2．对于向量的加法、数乘等运算停留在几何直观的理解上，缺乏从代数运算的角度理解向量运算特征的感受，容易将平面向量基本定理的作用仅仅理解为形式上的变换。 3．如果不加启发与引导，学生是不会从“基底”、“元”、“维数”这些角度去理解平面向量基本定理的深刻内涵，也难以认识这个定理在今后用向量方法解决问题中的重要作用。 4．如何处理共线向量定理与平面向量定理之间的同异点及联系是进行平面向量基本定理教学的关键问题，也是理解不同维数的“向量空间”，体会高维空间向低维空间转化的重要机会与途径。因此，教学时应该从共线向量定理的意义与作用入手，探求平面向量用相同向量（基底）统一表示的方法。 5．利用向量加法的平行四边形法则，将平面上任一向量用两个不平行的确定向量（即基底）表示出来是教学中的难点。教学时，让学生听教师讲解是一种处理方法，如果能结合力的分解，启发学生联想到用平行四边形的加法法则进行向量分解，可能会有更大的收获。当然，在进行这个关键问题的教学时，可能会涉及平行投影等知识与方法，可根据不同的学生对象进行取舍。 四、教学支持条件分析 1．数乘运算的几何意义、共线向量定理与向量加法的平行四边形法则是学习平面向量基本定理的重要基础，教学时需对学生掌握这些内容的情况进行了解，并根据情况进行适当的复习。 2．为便于向量分解和加强直观理解，应尽可能准备能反映向量的伸缩、向量加法与数乘运算的计算机软件（如《几何画板》、《卡氏几何》等）或图形计算器（如TI图形计算器）。 五、教学过程设计 问题1： 任意找一首用简谱谱写的歌曲，你能找到用阿拉伯数字“8”表示的音符吗？为什么？ 师生活动：教师给出一些用简谱谱写的歌曲，提出问题让学生思考，归纳总结出如下结论：任何一首用简谱谱写的曲子都找不出用阿拉伯数字“8”表示的音符，但都可以用1~7这七个阿拉伯数字作为音符谱写出来。 意图：关注依附于平面向量基本定理上的重要数学思想，让学生明白任何一首曲子都可以用1~7这七个阿拉伯数字作为音符来谱写