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浙江师范大学《微分几何》（期末考试）试卷 （2004-2005学年第一学期） 考试类别： 考试 使用学生： 初阳学院数学专业02、03级 考试时间：150分钟 出卷时间2004年12月21日 说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理. 一（10%）是非题（正确打√，错误打×） 1、等距变换一定是保角变换. 2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定. 3、二阶微分方程总表示曲面上两族曲线. 4、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的. 5、坐标曲线网是正交网的充要条件是，这里是第一基本量. 二（33%）填空题 已知，，则 ① ， ② ， ③ ， ④ ， ⑤ . 2、已知曲面，，，则它的第一基本形式为 ⑥ ，第二基本形式为 ⑦ ，高斯曲率 ⑧ ，平均曲率 ⑨ ，点处沿方向的法曲率 ⑩ ，点处的两个主曲率分别为 . 三（24%）计算题 1、求曲面的渐近曲线. 2、已知曲面的第一基本形式为，，求坐标曲线的测地曲率. 四（33%）综合题 1、设空间两条曲线和的曲率处处不为零，若曲线和可以建立一一对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线和在对应点的切线夹固定角. 2、给出曲面上一条曲率线，设上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角. 求证是一条平面曲线. 3、问曲面上曲线的切向量沿曲线本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线是测地线吗？为什么？ 第 1 页 共 1 页