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微分动力系统的应用(一)--竞争模型 设在一个池塘里饲养两种食用鱼：鳟鱼和鲈鱼. 设它们在时刻t的尾数分别是x(t)和y(t). 假定鳟鱼的尾数x(t)的增长速度正比于鳟鱼尾数x(t), 增长率为k; 即 . (1) 由于鲈鱼的存在而争夺食物、减小了鳟鱼的增长率. 鲈鱼越多，鳟鱼的增长率越小，可设鳟鱼的增长率k = a – by, 其中a0, b0是常数. 因此我们可以写出如下的描述鳟鱼尾数的微分方程: , , . (2) 同理由于鳟鱼的存在而争夺食物、减小了鲈鱼的增长率. 我们可得到描述鲈鱼尾数的微分方程: , (3) 其中 m0, n0是常数. 当鳟鱼的尾数x(t) m/n, 鲈鱼的尾数 y(t)a/b时, 由方程 (3)可见鲈鱼的尾数y将减少, 由方程 (2)可见鳟鱼将增加. 反之, 当鳟鱼的尾数x(t) m/n, 鲈鱼的尾数 y(t)a/b时, 由方程 (3)可见鲈鱼的尾数y将增加, 由方程 (2)可见鳟鱼尾数x(t)将减少. 现在的问题是: 设在t=0时鳟鱼和鲈鱼的初值分别是x0和y0尾, 要研究这两种鱼的增长情况. 是否存在x00和y00, 使得这两种鱼能够和平共处, 长期共存呢? 首先可见方程组 (2), (3)有常数解 . (4) 因此在t=0时鳟鱼x0=m/n, 和鲈鱼y0=a/b尾时, 由方程可见鳟鱼和鲈鱼的增长速度是零, 所以鳟鱼和鲈鱼的尾数保持不变. 那么这种状态是否是稳定的呢? 就是说, 若鱼的尾数由于某种原因稍有变化, 这两种鱼是否还能和平共处, 长期共存呢? 由常微分方程的理论, 我们知道 (m/n, a/b) 是方程组的奇点, 我们只要分析这个奇点的稳定性就行了. 方程组(2),(3) 的向量场的Jacobi矩阵在奇点(m/n, a/b)的值是 (5) J 的两个特征值为 , 因此奇点是鞍点, 鞍点是不稳定的. 所以若鱼的尾数由于某种原因稍有变化, 这两种鱼的尾数将有大的变化. 方程组(2), (3)还有一个奇点 (0, 0), 向量场的Jacobi矩阵在奇点(0, 0)的值是 (6) J 的两个特征值为a0, m0, 因此奇点(0, 0)是不稳定的结点. 在奇点(0, 0) 附近的轨线当时间t增大时都离开奇点(0,0). 另外方程组 (2), (3) 有两条半直线轨道: (1): x=0, y0, 对应的轨线是 , 表示鲈鱼的尾数呈指数增长. (2): y=0, x0, 对应的轨线是 , 表示鳟鱼的尾数呈指数增长. 由于奇点(m/n, a/b)是鞍点, 当t趋向无穷大时, 有两条轨道从相反的方向趋向鞍点, 另有两条轨道从鞍点出发以相反的方向离开鞍点. 这四条轨道称为鞍点的分界线, 研究这些分界线的走向以及方程组的结点(0,0)的性质, 其余轨道的大致走向也就清楚了. 要知道对于一般的初值 鳟鱼和鲈鱼的尾数是怎样变化的, 最终是鳟鱼还是鲈鱼生存下来呢? 就要解出微分方程组(2), (3). 将方程组 (2), (3) 消去dt, 化为如下一阶常微分方程: , (6) (6)式是一个变量分离方程, 除了零解 (x=0, y=0) 和半直线轨道外, 可分离变量得 , (7) 从到对(7)式作定积分得到过的积分曲线: . (8) 对(8)式取指数化为形式: , (9) (9)式中的K是常数: . (10) 对于鞍点的分界线, 因它们趋向及离开鞍点, 所以分界线方程的K应由(10)式中取为鞍点: , (12) 而得到. 这时(10)式的K值为 . (13) 记 , . 由微分法可知是单峰函数, 在鞍点的纵坐标时取得最大值, 在和时取得最小值零. 在区间[0, a/b]上f(y) 从零严格单调增加到最大值; 在无穷区间y a/b上f(y)严格单调减少趋向零. 同理是单峰函数, 在鞍点的横坐标时取得最大值, 在时和时取得最小值零. 在区间[0, m/n]上g(x) 从零严格单调增加到最大值, 在无穷区间x m/n上g(x)严格单调减少趋向零. 根据以上事实, 可以由分界线方程(9), (13)得出鞍点的四条分界线(红色和蓝色的线)并且根据方程组