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改进数学教学的几点思考 人民教育出版社 章建跃 zhangjy@ 一、提高“理解数学”的水平 老师理解好数学是提高教学质量的前提。 理解数学概念的几个方面：从表面到本质—把握概念的深层结构上的进步；从抽象到具体—对抽象概念的形象描述，解读概念关键词，更多的典型、精彩的例子；从孤立到系统—对概念之间的关系、联系的认识，有层次性、立体化的认识；等。 提高解读概念所反映的数学思想方法的能力是教师专业化发展的抓手 。 例1 几个数学概念的解读 函数概念的核心是什么？ 直线与平面垂直的定义的关键在哪里？ 如何理解两个变量的线性相关问题？ 如何理解诱导公式？ 推导等差数列前n项求和公式的思想方法是什么？ “直线与方程”的核心是什么？ 二、高立意与低起点 立意不高是普遍问题，许多教师的“匠气”太浓，课堂上题型、技巧太多，弥漫着“功利”，缺少思想、精神的追求，严重影响数学育人。 数学的“育人”功能如何体现？——挖掘数学知识蕴含的价值观资源，在教学中将知识教学与价值观影响融为一体。 关键：提高思想性。 “技术”：加强“先行组织者”的使用。 例2不等式基本性质“立意”比较 以往做法：数轴上点的顺序定义数的大小关系，再到“基本事实”（考察两个实数的大小，只要考察它们的差），再由“利用比较实数大小的方法，可以推出下列不等式的性质”： 性质1，2，3……——证明——例题——练习、习题 人教A版的教学设计 数轴上点的顺序定义数的大小关系，再到“基本事实”（考察两个实数的大小统一化归为比较它们的差与0的大小）； 从“数及其运算”的高度出发，以“运算中的不变性、规律性就是性质”为思想指导，以等式的基本性质为起点，通过类比等式的基本性质，得到不等式基本性质的猜想； 回到从“基本事实”到“基本性质”的推理过程，给出证明； 引导学生用不同语言表述“基本性质”； 从实例中概括基本不等式的作用——明确概括出思想方法。 核心：将等式与不等式纳入数及其运算的系统中，成为用运算律推导出的“性质”。 既要讲逻辑，更要讲思想，加快学生领悟思想的进程。 三、提高概念的教学水平 问题：不重视概念教学，“一个定义，三项注意”式的抽象讲解，很快进入概念的综合应用。 概念教学的核心——概括：将凝结在数学概念中的数学家的思维打开，以典型丰富的实例为载体，引导学生展开观察、分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性，归纳得出数学概念。 概念教学的基本环节 典型丰富的具体例证——属性的分析、比较、综合； 概括共同本质特征得到概念的本质属性； 下定义（准确的数学语言描述）； 概念的辨析——以实例（正例、反例）为载体分析关键词的含义； 用概念作判断的具体事例——形成用概念作判断的具体步骤； 概念的“精致”——建立与相关概念的联系。 例3 函数奇偶性的教学 急功近利的做法 （1）给出函数y=x2和y=x的图像，并提出问题：如果从图象的对称性观察，两个图像各有什么特点？ （2）给表格并提问：数量关系上有啥特征？ （3）能否描述一下函数y=x2的特征？ 学生回答：当x取任意数时y都取正数；在(－∞,0)上为增函数，在(0,＋∞)上为增函数；函数图像关于y轴对称；自变量取一对相反数时，函数值相等；…… （4）对于定义域内任意一个x，是否都有 f(－x)＝f(x)？ （5）能否描述一下偶函数的定义？ ——“一个函数打天下”，缺乏概括的基础。 注重概括过程的做法 典型、丰富的例证——不止一个：y=x2，y=|x|， y=x2－2……； 从观察图像、概括共同特征入手； 列表，从数的角度描述特征； 形、数对照——从形到数——用函数符号语言描述特征； 概念的精致：内涵、外延的深加工，概念要素的具体界定；组织——建立相关知识的联系。 四、提高对抓“基础”的认识 我国“双基”的优势正在丧失； 现象：（1）数学教学=题型教学=刺激—反应（记忆、模范型学习）；（2）缺少知识的发生发展过程，以训练代替概念教学——应用可以促进理解，但没有理解的应用是盲目的；（3）过分关注“题型”——与“题型”对应的技巧是雕虫小技，无法穷尽，结果是“讲过练过的不一定会，没讲没练的一定不会”；等。 如何改变？ 要强调知识及其蕴含的思想方法教学的重要性——无知者无能； 不断回到概念去，从基本概念出发思考问题、解决问题； 加强概念的联系性，从概念的联系中寻找解决问题的新思路。 应追求解决问题的“根本大法”——基本概念所蕴含的思想方法，强调思想指导下的操作。 例4 向量加法运算及几何意义的教学设计 先行组织者：类比数及其运算，引进一个量就要研究运算，引进一种运算就要研究运算律。 力的合成、速度的合成等物理原理的回顾。 学生看书，汇报对定义和三角形法则、平行四边形法则的理解，其中特别要注意对“关键词”的理解，要求用自己的语言描述。 向量a，