数值分析课程设计baogao.docVIP

数值分析课程设计报告 专业课程设计成绩评定书 指 导 教 师 评 语 成 绩： 指导教师 时 间： 答辩小 组 意 见 设计成绩： 答辩组长： 审定 系主任： 题目用熟悉的计算机语言编程上机完成 熟悉Newton-Cotes和Romberg的理论基础对函数求积分，在运行完程序后以及对运行结果做出各方面的分析和比较。 二．实验设计目地 用熟悉的计算机语言编程上机完成Newton-Cotes公式计算积分Romberg积分法计算积分Newton-Cotes和Romberg的理论基础 牛顿柯斯特公式：设将积分区间[a,b]划分为n等份，步长h=（b-a）/n,选取等距节点=a+kh构造出的插值型求积分公式I，称为牛顿—柯斯特（Newton-Cotes）公式，式中称为柯特斯系数，引进变换x=a+th,则有 龙贝格求积公式： （1）.梯形法的递推化 设将区间[a,b]分为n等份，共有n+1个分点，如果将求积区间再二分一次，则分点增至2n+1个，我们将二分前后两人积分值联系起来加以考察，注意到每个子区间[]经过二分只增加了一个分点，用复合梯形公式求得该子区间上的积分值为，注意，这里h =(b-a)/n代表二分前的步长，将每个子区间上的积分值相加得，从而利用上式可导出下列递推分式： （2）.外推技巧 从梯形公式出发，将区间[a,b]逐次二分可提高求积公式精度，当[a,b]分为n等份I 若记，当区间[a,b]分为2n等份时，则有，并且有I. (3).龙贝格算法 将上述外推技巧得到的公式重新引入记号 等从而可将上述公式定成统一形式 经过m(m=1.2.3……)次加速后，余项便取下列形式： 这方法通常称为理查森外推加速方法。 设以表示二分次后求得的梯形值，且以表示序列｛｝的m次加速值，则依递推公式可得 公式也称为龙贝格算法，计算过程如下： ⅰ.取k=0,h=b-a,求 令（k记区间[a,b]二分次数） ⅱ.求梯形值，即按递推公式计算 ⅲ.求加速值，按公式a逐个求出T表的第k行其余各元素T（j=1,2,…,k）. iv.若|T—T|(预先设定的精度)，则终止计算，并取TI；否则令k+1k转（2）继续计算. k h … 0 b-a … 1 ① … 2 ② ③ … 3 ④ ⑤ ⑥ … 4 ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ … … T 表 表指出了计算过程，第2列h=给出了子区间长度，i表示第i步外推.可以证明，如果f(x)充分光滑，那么T表每一列的元素及对角线元素均收敛到所要求的积分值I. 四．程序代码及运行结果 牛顿柯斯特求积分： function y=mulNewtonCotes(a,b,m,n) fun=@(x)exp(-x.^2); xk=linspace(a,b,m+1) for i=1:m s(i)=NewtonCotes(fun,xk(i),xk(i+1),n); end y=sum(s); function [y,Ck,Ak]=NewtonCotes(fun,a,b,n) %fun=@(x)exp(-x.^2) if nargin==1 [mm,nn]=size(fun); if mm=8 error end xk=fun(1,:); fk=fun(2,:); a=min(xk); b=max(xk); n=mm-1; end if nargin==4 xk=linspace(a,b,n+1); if isa(fun,function_handle) fx=fun(xk); end end Ck=cotescoeff(n); Ak=(b-a)*Ck; y=Ak*fx; function Ck=cotescoeff(n) for i=1:n+1 k=i-1; Ck(i)=(-1)^(n-k)/factorial(k)/factorial(n-k)/n*quadl(@(t)intfu