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数学分析期末考试题 叙述题：（每小题5分，共15分） Darboux和 无穷限反常积分的Cauchy收敛原理 Euclid空间 计算题：（每小题7分，共35分） 1、 2、求由下列两条曲线围成的平面图形的面积 3、(n是非负整数） 4、设具有二阶连续偏导数，求 5、求的幂级数展开式 讨论与验证题：（每小题10分，共20分） 1、讨论二元函数连续、偏可导、可微之间的关系。对肯定的结论任选一进行证明；对否定的结论，给出反例 2、讨论级数的绝对和条件收敛性。 证明题：（每小题10分，共30分） f（x）在[0，+∞）上连续且恒有f（x）0，证明在[0，+∞）上单调增加 设正项级数收敛，单调减少，证明 ，证明：不存在 参考答案 一、1、有界函数定义在上，给一种分法，和记，则分别称为相应于分法的Darboux大和和Darboux小和。 2、使得，成立 3、向量空间上定义内积运算构成Euclid空间 二、1、由于（7分） 2、解：两曲线的交点为（2，2），（0，0），（2分） 所求的面积为：（5分） 解： =+=+（6分） (1分） 4、：=（3分）（4分） 5、解： 由于余项，（3分）所以（4分） 三、1、解、可微必可偏导和连续，证明可看课本133页（4分），可偏导不一定连续和可微例子可看课本135页（6分） 2、解：当时，级数绝对收敛，（4分）当，由Dirichlet定理知级数收敛，但，所以发散，即级数条件收敛（4分），当时，级数的一般项不趋于0，所以级数不收敛（2分） 四、证明题（每小题10分，共30分） 证明：（8分） 所以函数单调增加（2分） 2、证明：，有由此得，（4分）由级数收敛，故可取定使得，又，故使得时，有，（4分）于是当时，有，得证（2分） 3、证明：，所以不存在（10分） 1