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数学解题与数学思想方法例题 罗增儒 陕西师范大学数学与信息科学学院 例1 由图6可见，若抛物线 上有一点位于x轴下方，则 抛物线与x轴必有两个不同的交点， 记为，，且在与 图6 之间．请给出严格的代数证明． 讲解 这个问题在直观上非常明显，并且在中学里常作为已知结论去处理综合性问题．现在的问题是要把直观上看到的事实，用严格的数学语言表达出来，从而问题情景本身体现着数形结合的数学思想，并且有连续函数介值性质的深刻背景． 从结论入手(分析法)，抛物线与x轴有两个不同的交点(形象信息)等价于二次方程(符号信息) ① 有两个不等的实数根(这既是形与数的沟通，又是函数与方程的转化)，这又等价于方程的判别式大于0 ② 再看条件，点在x轴下方(形象信息)等价于(符号信息) 问题转化为：已知③、④，求证②，这已经是纯粹的代数问题了(由形到数的表征)．为了沟通已知与求证的联系，既可以从几何上思考，又可以从代数上思考．此处先选择几何思考，随后有代数思考． 首先想到②式与抛物线顶点坐标（）有联系，其次由图形看到抛物线顶点不会比M点高(形象信息)，转化为代数表达(由形到数，沟通②与④式的联系)有 ， 可以得到 ⑤ 于是，③、④式与②式的沟通，转化为证明⑤式．这时回忆不等式证明的基本方法(模式识别)，不妨选用作差法试算，有 ⑥ 这说明，本题可用配方法来证明⑤式，证明的过程只不过是⑥式的书写，形式是不惟一的． 证明1 由在抛物线上，有 两边乘以4后配方，有  即 ⑦ 这表明，二次方程的判别式大于0，从而有两个不相等的实根，记为，，则已知抛物线与x轴交于两点，． 这时，抛物线的解析式可以写成 ， 把点代入，得 ⑧ 这说明在与之间． 证明２ 由已知有 （由③） (由④) 以下略(同证明1)．这个干净利落的书写，如果没有此前数形结合的分析做背景(特别是⑥式)，很容易误解为“加、减”的雕虫小技在发挥关键作用，同时(更重要的)，也错过了一次进行数学思想方法教育的机会．其实，方法是为思想服务的，行动是受思想指导的，加减项的技巧只不过是实现思想的一种方式(一题多解本身已表明实现的方式不惟一)． 证明3 由已知有 令，得 ⑨ 因为，故其判别式 ， 得抛物线⑨与横轴有两个交点，记为，，从而 ， 是二次方程 的两个根，且由⑨知 ， 得在与之间． 所以，已知抛物线与x轴有两个不同的交点，，且在与之间． 在这个解法中，又调动了换元法(设，代入抛物线方程便可得出⑨式)，其几何意义是坐标变换(由数到形)，而思想方法上则体现了用字母表示数或对应．回顾上面的证明可以看到(反思)，题目中的两个结论分别采用了两个不同的途径：判别式⑦和二次函数的零点式⑧，并且两者好象有明显的顺序关系，当中的判别式似乎也不可或缺．其实， ， 在实数范围内，判别式非负只不过是实数的平方非负，因而，使用判别式只是实现解题目标的一个途径，在⑧式中已隐含着，为实数的因素，否则就会与实数的平方非负矛盾．请看 证明4 设，为是二次方程 的两个根(尚未断言为实根)，有分解式 ⑩ 把代入，有 。 （11） 若，不为实数(反证法)，则必为共轭复数，设为 ，，（ 代入（11）得 这与实数的平方为非负数矛盾，故，为实数，且由（11）知，在与之间． 故抛物线与x轴相交于两点，，且在与之间． 这个例子的处理过程，渗透了数形结合的思想方法，进行了函数与方程的知识转换，自然涉及用字母表示数及转换化归