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阅读进度 7/18 浅谈树型动态规划 中山市华侨中学——李彦亭 什么是树型动态规划 顾名思义，树型动态规划就是在“树”的数据结构上的动态规划，平时作的动态规划都是线性的或者是建立在图上的，线性的动态规划有二种方向既向前和向后，相应的线性的动态规划有二种方法既顺推与逆推，而树型动态规划是建立在树上的，所以也相应的有二个方向： 根—叶：不过这种动态规划在实际的问题中运用的不多，也没有比较明显的例题，所以不在今天讨论的范围之内。 叶－根：既根的子节点传递有用的信息给根，完后根得出最优解的过程。这类的习题比较的多，下面就介绍一些这类题目和它们的一般解法。 例题与解析 加分二叉树 【问题描述】 设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为（l,2,3,…,n），其中数字1,2,3,…,n为节点编号。每个节点都有一个分数（均为正整数），记第i个节点的分数为di，tree及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树subtree（也包含tree本身）的加分计算方法如下： subtree的左子树的加分× subtree的右子树的加分＋subtree的根的分数 若某个子树为空，规定其加分为1，叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。 试求一棵符合中序遍历为（1,2,3,…,n）且加分最高的二叉树tree。要求输出； （1）tree的最高加分 （2）tree的前序遍历 【输入格式】 第1行：一个整数n（n＜30），为节点个数。 第2行：n个用空格隔开的整数，为每个节点的分数（分数＜100）。 【输出格式】 第1行：一个整数，为最高加分（结果不会超过4,000,000,000）。 第2行：n个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。 【输入样例】 5 5 7 1 2 10 【输出样例】 145 3 1 2 4 5 [分析]很显然，本题适合用动态规划来解。如果用数组value[i,j]表示从节点i到节点j所组成的二叉树的最大加分，则动态方程可以表示如下： value[i,j]=max{value[i,i]+value[i+1,j],value[i+1,i+1]+value[i,i]*value[i+2,j], value[i+2,i+2]+value[i,i+1]*value[i+3,j],…,value[j-1,j-1]+value[i,j-2]*value[j,j], value[j,j]+value[i,j-1]} 题目还要求输出最大加分树的前序遍历序列，因此必须在计算过程中记下从节点i到节点j所组成的最大加分二叉树的根节点，用数组root[i,j]表示 [C++ 源程序] /* 本题用动态规划解 如果用数组value[i,j]表示从节点i到节点j所组成的二叉树的最大加分，则动态方程可以表示如下： value[i,j]=max{value[i,i]+value[i+1,j],value[i+1,i+1]+value[i,i]*value[i+2,j], value[i+2,i+2]+value[i,i+1]*value[i+3,j],…,value[j-1,j-1]+value[i,j-2]*value[j,j], value[j,j]+value[i,j-1]} */ #include iostream using namespace std; const int maxn=30; int root[maxn+1][maxn+1];// 记下从节点i到节点j所组成的最大加分二叉树的根节点 void preorder(int p1,int p2) { //按前序遍历输出最大加分二叉树 if(p2p1) return; printf(%d ,root[p1][p2]); preorder(p1,root[p1][p2]-1); preorder(root[p1][p2]+1,p2); } int main() { int n; int a[maxn+1];//用于记录每个节点的分数 int value[maxn+1][maxn+1];//value[i,j]表示从节点i到节点j所组成的二叉树的最大加分 int s,temp;//临时变量 scanf(%d,n); for(int i=1;i=n;++i) scanf(%d,a[i]); memset(value,0,sizeof(value)); for(i=1;i=n;++i) { value[i][i]=a[i];//计算单个节点构成的二叉树的加分 root[i][i]=i;//记录单个节点构成的二叉树的根