1zhao.org_2015年考研冲刺班微积分上（三十六技之1）.pdf

水木艾迪 电话：01082378805 地址：清华同方科技广场 B 座 503 室 考研数学三十六技 微积分上（三十六技之 1-6） 清华大学 数学科学系 刘坤林主讲 三十六技之一：极限问题的快速分析与处理摸着石头过河 定义理解是基础，运算性质是关键。罗式法则适时用，验证条件靠实验，有件事情别 忘记，做预处理求简单。极限结论可引用，标准极限要记清。无穷小量替换时，必须做到 合法性。 重点：等价无穷小量运用，标准极限的广义化理解与处理，必要时采用具有皮亚诺余项 形式的泰勒公式。 程序化分析法/摸着石头过河：判断一步状态，确定一个方法，作出一步分析与计算。 这些方法依赖于对极限性质与可引证结果的熟练掌握，如： （1）三个存在准则 存在准则 1：单调有界必有极限 存在准则 2：夹逼准则 存在准则 3：无穷小量与有界函数之乘机仍为无穷小量 （2）三个标准极限的灵活运用 sin ( ) α x 标准极限 1： lim 1 x →(⋅) ( ) α x 1 ( ) 标准极限 2： ( )α x lim 1+α(x) e ( ) x → ⋅ Δy f (x +Δx) −f (x ) 标准极限 3： lim lim 0 0 f ′(x ) 0 Δx →0 Δx Δx →0 Δx f (x) −f (x ) 或f ′(x ) lim 0 0 Δx →0 x −x 0 ′ f (x 0 +α(Δx )) −f (x0 ) ′ f (x 0 +α(h)) −f (x0 ) f (x ) lim 或 f (x ) lim 0 0 Δx →0 α(Δx ) h→0 α(h) 其中α(Δx) 或α(h) 是Δx →0 （或h →0 ）时的高阶无穷小量。 导数定义作为标准极限应用的两个要点是： 必须确认函数自变量的一个固定点，必须有明确的自变量增量记号形式。 （3）几组常用等价无穷小量（ x →0 ）： （1） x ~ sin x ~ tanx ~ arcsinx ~ arctan x 1 2 1−cos x ~ x （2） 2 ex −1~ x ， ln(1+x ) ~ x ， ax −1 ex ln a