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四川大学2003 高等代数考研
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09 川大高代
2009
一、1.f (x )是数域F 上的2008次多项式，证明 2不可能是f (x )的根
2. 用代数基本定理证明 R 上的不可约多项式只有一次多项式或者满足
b2 4ac 0的二次多项式: ax2 bx c
3. 不用 hamilton-calay 定理证明对数域 F 上的 n 阶矩阵 A ，存在 F 上的多项式
f (x )使得f (A ) 0
f (x ) 3x 2 2x 1, ， ， 是f (x )的三个根，求值
4.设 1 2 3
(2 (2 (2
) ) )
1 2 3 2 1 3 3 1 2
二、1.叙述并证明线性方程组的Grammer 法则
F K , A是F中矩阵， 是F中向量，
2.F,K 是数域且
证明Ax=在F中有解当且仅当它在K中有 解
2 2 2
3. A 2 1 4 大概数字是这样吧，具体忘了
2 4 1
（1）A 在F 上是否相似与对角矩阵，说明理由
（2）求A的最小多项式
f (X)=X AX, f (X)
（3) 求 的一个标准形
4.好像是前几年的一个类似题吧，说明A 与B 在任何数域上都不相似，另一问忘记了，这
些忘记的题一般都不难，掌握方法都很简单的。呵呵
三、设T {X M (F ) A 1 XA X },V T ，即V 是所有可逆矩阵构造出来
A n A
A M n (F ): A 0
的T 的交，求dimV 和V 的一组基。
A
四 、
2 0 0
X X k
M 0 0 Er , B {X M 2r 1 (F ) X M MX 0},X M 2 r 1 (F ),e k ! ,
0 E 0 k 0
r
(1)求B的维数和一组基
（2）证明det(eX ) 1
i
(3) (,) (0,...,1,...0), 1, 2,.., 2 1.
设 是F上的一个双线性型，i i r
M 是这个双线性型在上述基下的一个度量矩阵，证明对任意的 ，
X X
有(e ,e ) ( , )
五、证明数域F 上的任意一个n 元多项式都可以表示成一次齐次多项式幂的线性组合。
四川大学2011 年硕士研究生考试——高等代数
一、
⎧
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