求二次函数的关系式(一).docVIP

课题：求二次函数的函数关系式（一） 教学目标： １．使学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数的关系式． ２．使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数关系式． ３．让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提高学生用数学意识． 重、难点： 重点：已知二次函数图象上一个点求的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数、关系式是教学的重点。 难点：已知图象的三个点求二次函数的关系式是教学的难点。 教学过程： 一、创设问题情境 如图，某建筑的屋顶设计成抛物线型（曲线ＡＯＢ）的薄壳屋顶。它的跨度ＡＢ为４ｍ，拱高ＣＤ为０。８m。施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？ 分析：为了画出符合要求的模板，通常 要先建立适当的直角坐标系，再写出函数 关系式，然后根据这个关系式进行计算， 放样画图。 如图所示，以ＡＢ的垂直平分线为ｙ轴，以过Ｏ点的ｙ轴的垂线为轴，建立直角坐标系。这时，屋顶的横截面所成的抛物线的顶点在原点，对称轴是ｙ轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为：（＜０）　　　（１） 因为ｙ轴的垂直平分ＡＢ，并交ＡＢ于点Ｃ，所以ＣＢ＝＝２（ｃｍ），又ＣＯ＝０。８ｍ，所以点Ｂ的坐标为（２，－０。８） 因为点Ｂ在抛物线上，将它的坐标代入（１）得 －０。８＝× 所以＝－０。２ 因此，所求函数关系式是：。 请同学们根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线。 二、引申拓展 问题１：能不能以Ａ点为原点，ＡＢ所在的直线为轴，过点Ａ的轴的垂线为ｙ轴，建立直角坐标系？ 让学生了解建立平面直角坐标系的方法不是唯一的，以点Ａ为原点，ＡＢ所在的直线为轴，过点Ａ的轴的垂线为ｙ轴，建立直角坐标系是可行的． 问题２：若以Ａ点为原点ＡＢ所在的直线为轴，过点Ａ的轴的垂线为ｙ轴，建立直角坐标系，你能求出其函数解析式吗？ 分析：按此方法建立直角坐标系，则Ａ点的坐标为（０，０），Ｂ点的坐标为（４，０），ＯＣ所在直线为抛物线的对称轴，所以有ＡＣ＝ＣＢ，ＡＣ＝２ｃｍ，Ｏ点的坐标为（２，０．８）即把把问题转化为：已知抛物线过（０，０）、（４，０）、（２，０。８）三点，求这个二次函数解析式。 二次函数解析式的一般形式是，求这个二次函数的关系式，与以前学过的求一次函数解析式一样，关键是确定ａ、ｂ、ｃ，已知三点在抛物线上，所以它的坐标必须适合所求的函数关系式，可列出三个方程，解此方程组，求出三个待定的系数。 解：设所求的二次函数关系式为 因为ＯＣ所在直线为抛物线的对称轴，所以有ＡＣ＝ＣＢ，ＡＣ＝２ｃｍ，拱高ＯＣ＝０。８ｍ，所以Ｏ点坐标为（２，０。８），Ａ点的坐标为（０，０），Ｂ点的坐标为（４，０）。 由已知，函数的图像过（０，０），可以得到ｃ＝０，又由于其图象过（２，０。８）、（４，０），可以得到：　　　解这个方程得 所以，所求的二次函数解析式为。 问题３：请同学们根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线，其图象是否与前面所画的图象相同？ 问题４：比较两种建立直角坐标系的方式，你认为哪种建立直角坐标系的方法能使解决问题来得更简便？为什么？ （第一种建立直角坐标系的方式能使解决问题来得更简便，这是因为所设函数关系式待定系数少，所求出的函数关系式简单，相应的作图象也容易） 请同学们阅读例７。 三、课堂练习： 练习１。（１）、（３）、２。 四、综合应用 例１．如图所示，求二次函数解析式。 分析：观察图象可知，Ａ点的坐标是（８，０）， Ｃ点的坐标是（０，４），从图中可知对称轴是 直线＝３，由于抛物线是关于对称轴的轴对称图形，所以此抛物线在轴上的另一交点Ｂ的坐标是（－２，０），问题转化为已知三点求函数关系式。 解：观察图象可知，Ａ、Ｃ两点的坐标分别是（８，０）、（０，４）对称轴是直线＝３，所以Ｂ点的坐标为（－２，０）。 设所求二次函数解析式为，由已知，这个图象经过点（０，４），可得ｃ＝４，又由于其图象过（８，０）、（－２，０）两点，可以得到　解这个方程组得　　所以，所求的二次函数的关系式是。 练习：一条抛物线经过（０，０）与（１２，０）最高点的纵坐标是３，求这条抛物线的解析式。 五、小结 二次函数的关系式有几种形式，函数关系式就是其中一种常见的形式。二次函数关系式的确定，关键在于求出三个待定的系数ａ、ｂ、ｃ，由于已知三点坐标必须适合所求的关系式，故可列出三个方程，求出三个待定系数。 六、作业 １、习题２６。２４（１）、（３）、５ ２、补充： （１）二次函数的顶点在原点，且过（２，４），求这个二次函数解析式。 （２）若二次函数的图象经过Ａ（０，０）、Ｂ（－１，－１）Ｃ（１，９），求这个二次函数的解析式。 （３）如果抛物线经过（－１，１２）、（０，５）和（２，－３），求ａ＋ｂ＋ｃ的值。 （４）二次函数与轴的两交点的横坐标是－和，与ｙ轴交点的纵坐标是－５，求这个二次函数的关系式。 课后反思