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* （1）指标表示法和符号约定 指标表示法 x、y、z 分别计作 x1、x2、x3， ax、ay、az 分别计作 a1、a2、a3， 而三个单位矢量 分别计作 也可表示为， i 是自由指标，可取1、2、3。 笛卡尔张量 求和约定 在同一项中如有两个指标相同时，就表示对该指标从1到3求和: 重复出现的指标称为哑指标， 改变哑指标的字母并不改变表达式的内容。 克罗内克(Kronecker)符号 符号具有以下重要性质： 置换符号 i、j、k 偶排列，123，231，312 i、j、k 中有两个以上指标相同时 i, j, k 奇排列 ，213，321，132 有以下重要性质： 矢量和张量的运算举例 例题1. 展开下列求和式， 解： 例题2. 已知, , 求: 是位置矢量. . 解: 例题3. 证明 证明: 又证： 上述结果已经和上页第三步相同。 哈密顿算子 一个具有微分及矢量双重运算的算子 利用张量表示法哈密顿算子可写为 利用哈密顿算子进行运算时，先进行微分运算，后进行矢量运算。 例题1. 分别写出 在直角坐标下的表达式. 解: ? 例题2. 是位置矢量, , 证明: 是常矢量. 证明: (1). 以上证明中用到 (2). (4). (3). 例题3. 证明 ? 证明： ? （2）张量 标量、矢量和张量 标量是一维的量，它只需1个数及单位来表示，如温度、密度。 矢量则不仅有数量的大小，而且有指定的方向，它必需由某一空间坐标系的 3 个坐标轴方向的分量来表示，因此矢量是三维的量。 三维空间中的二阶张量是一个9维的量，必须用9个分量才可完整的表示，如应力，变形速率。 三维空间中的 n 阶张量由 3n 个分量组成。 标量和矢量均可看作低阶张量，标量为零阶张量，而矢量为一阶张量。 笛卡尔张量。 ?二阶张量 二阶张量有9个分量，通常也可表示为矩阵形式，即 （3）二阶张量的代数运算 张量相等 两个张量相等则各分量一一对应相等。设 ， ，若 则 若两个张量在某一直角坐标系中相等，则它们在任意一个直角坐标系中 也相等。 张量加减 设 、 ，则 张量的加减为其同一坐标系下对应元素相加减，只有同阶的张 量才能相加减。 张量数乘 二阶张量 乘以标量 , ，则 张量数乘等于以该标量乘所有的张量分量。 点积和双点积 设 ， ，定义点积为 二阶张量点积即两个张量中相邻的两个单位矢量作点积运算，得到一个新的二阶张量。 here 二阶张量与矢量的点积则定义为 矢量与一个二阶张量点积得到一个新的矢量。 二阶张量的双点积定义为： 二个二阶张量的双点积结果为一个新的标量。 两个矢量 的并矢定义为 也可写成 并矢是一个二阶张量。坐标单位矢量的两两并矢 称为并基， 三维空间的二阶并基共有9个。 并矢运算不服从交换律。 并矢 共轭张量