电子科技大学,电磁场与电磁波。第一章__矢量分析.doc.pptVIP

习 题一、关于矢量代数1.3; 1.5; 1.9二、关于矢量分析 1.12; 1.16; 1.20; 1.23;1.27 矢量场的旋度 矢量场在M点的旋度为该点处环流面密度最大时对应的矢量，模值等于M点处最大环流面密度，方向为环流密度最大的方向，表示为 ，即： 式中： 表示矢量场旋度的方向； 旋度的物理意义 矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数 矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度 旋度的计算 直角坐标系： 柱面坐标系： 球面坐标系： 矢量场的旋度 的散度恒为零 标量场的梯度 的旋度恒为零 旋度计算相关公式： 证明 证明 讨论：散度和旋度比较 1.5.3 斯托克斯定理 由旋度的定义 对于有限大面积s，可将其按如图方式进行分割，对每一小面积元有 斯托克斯定理的证明： ＝ 得证！ 意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于该矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的环流。 曲面的剖分 方向相反大小相等抵消 若矢量场 在某区域V内，处处 ，但在某些位置或整个空间内，有 ，则称在该区域V内，场 为无旋场。 1.6 无旋场与无散场 1.6.1 无旋场 结论：无旋场场矢量沿任何闭合路径的环流等于零(无漩涡源)。 重要性质： 无旋场的旋度始终为0，可引入标量辅助函数表征矢量场，即 例如：静电场 1.6.2 无散场 若矢量场 在某区域V内，处处 ，但在某些位置或整个空间内，有 ，则称在该区域V内，场 为无源有旋场。 结论：无散场通过任意闭合曲面的通量等于零（无散度源）。 重要性质： 无散场的散度始终为0，可引入矢量函数的旋度表示无散场 例如，恒定磁场 （3）无旋、无散场 （源在所讨论的区域之外） （4）有散、有旋场 这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分 无旋场部分 无散场部分 1.7 拉普拉斯运算 标量场的拉普拉斯运算 对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作： 式中： 称为拉普拉斯算符。 在直角坐标系中： 在圆柱坐标系中： 在球面坐标系中：(1.7.3) 矢量场的拉普拉斯运算 在直角坐标系中： 1.8 亥姆霍兹定理 亥姆霍兹定理 在有限区域内，任意矢量场由矢量场的散度、旋度和边界条件（即矢量场在有限区域边界上的分布）唯一确定，且任意矢量场可表示为： 说明： 矢量场可分解一个有源无旋场和无源有旋场之和，即： 已知 矢量F的通量源密度 矢量F的旋度源密度 场域边界条件 在电磁场中 电、磁场散度 电、磁场旋度 场域边界条件 亥姆霍兹定理在电磁理论中的意义：研究电磁场的一条主线。 若矢量场 在某区域V内，处处有： 和 则 由其在边界面上的场分布确定。 注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。 散度定理的证明： 从散度定义，可以得到： 则在一定体积V内的总的通量为： 体积的剖分 V S1 S2 en2 en1 S 重要的矢量恒等式的证明： 返回 重要的矢量恒等式的证明： 返回 第1章 矢量分析 电磁场与电磁波 电子科技大学电磁场与电磁波课程组 第一章 矢量分析 本章重点介绍与矢量场分析有关的数学基础内容。 矢量代数 常用正交坐标系 标量场的梯度 矢量场的散度 矢量场的旋度 拉普拉斯运算 亥姆霍兹定理 本章内容 矢量的几何表示：用一条有方向的线段来表示 矢量的几何表示 矢量可表示为： 其中 为模值，表征矢量的大小； 为单位矢量，表征矢量的方向； 说明：矢量书写时，印刷体为场量符号加粗，如 。教材上的矢量符号即采用印刷体。 1.1 矢量代数 1.1.1 标量和矢量 标量与矢量 标量：只有大小，没有方向的物理量(电压U、电荷量Q、能量W等） 矢量：既有大小，又有方向的物理量（作用力，电、磁场强度） 矢量的代数表示 矢量用坐标分量表示 z x y 1.1.2 矢量的运算 矢量的加法和减法 说明： 1、矢量的加法符合交换律和结合律： 2、矢量相加和相减可用平行四边形法则求解： 矢量的乘法 矢量与标量相乘 标量与矢量相乘只改变矢量大小，不改变方向。 矢量的标积（点积） 说明： 1、矢量的点积符合交换律和分配律： 2、两个矢量的点积为标量 矢量的矢积（叉积） 说明： 1、矢量的叉积不符合交换律，但符合分配律： 2、两个矢量的叉积为矢量