第一章 电磁场矢量分析(第三次课).pptVIP

* （2）无散场 仅有旋度源而无散度源的矢量场，即 性质： 无散场可以表示为另一个矢量场的旋度 例如，恒定磁场 * （3）无旋、无散场 （源在所讨论的区域之外） （4）有散、有旋场 这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分 无旋场部分 无散场部分 * 基于上式还可获得下列两式： 上两式称为标量第二格林定理。 格林定理说明了区域 V 中的场与边界 S 上的场之间的关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。 此外，格林定理反映了两种标量场之间满足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布。 格林定理广泛地用于电磁理论。 * 亥姆霍兹定理: 若矢量场在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可表示为 式中： 亥姆霍兹定理说明：在无界空间区 域，矢量场可由其散度及旋度确定。 1.8 亥姆霍兹定理 * 有界区域 在有界区域，矢量场不但与该区域中的散度和旋度有关， 还与区域边界上矢量场的切向分量和法向分量有关。 亥姆霍兹定理本质:场源明确了,则场的性质就明确。任何矢量场都只有散度和旋度两种源（无界条件下，微分运算连续时），因此，矢量场有散度，旋度和边界条件所决定，由此产生场的分类和位函数的引入，带来一些分析计算观点的转换 * * 1.7 拉普拉斯运算与格林定理 1、拉普拉斯运算 标量拉普拉斯运算 概念： —— 拉普拉斯算符 直角坐标系 计算公式（说明来历） 圆柱坐标系 球坐标系 * 矢量拉普拉斯运算 概念： 即 注意：对于非直角分量， 直角坐标系中： 如： * 2. 格林定理 设任意两个标量场? 及?，若在区域 V 中具有连续的二阶偏导数，那么，可以证明该两个标量场? 及? 满足下列等式。 根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成 式中S 为包围V 的闭合曲面， 为标量场 ? 在 S 表面的外法线 en 方向上的偏导数。 以上两式称为标量第一格林定理。 S V ?,? * 本章小结：概念，恒等式，计算关系，难点， 考点说明. 概念:单位矢量,投影,夹角,方向导数,位置矢量,变矢,单位矢量映射等. 运算:矢量的加,减,标乘,矢乘,散度,旋度,梯度三种微分运算,矢量的线 积分,面积分 恒等式: * 注意位置矢量的有关结论: 考点:直角坐标系下的标乘,矢乘,散度,旋度,梯度以及组合运算,双重微分运算,本章处理问题的一些观点 难点:坐标系的单位矢量映射关系.矢量的线积分,面积分运算(尤其在混合坐标系下) 注意本章处理问题的一些观点和手段 * 第一章作业: *证明位置矢量 *圆柱坐标下的矢量 在直角坐标中如何表达? * *球面坐标系散度推导 * 求矢量 的 2.求 标量 的 *简述:亥姆霍兹定理内容和意义? * 第一课 * 第一课 * * 通过闭合曲面有净的矢量线穿出 有净的矢量线进入 进入与穿出闭合曲面的矢量线相等 矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果 闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。 通量的物理意义 矢量闭合面通量的物理意义是寻找场域闭合面内标性场源的宏观总量,对标性场源的定位是不精确的,需要在点源意义下进行定位 * * 3、矢量场的散度 为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限方法得到这一关系： 称为矢量场的散度。 散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。散度代表着标性场源的点密度 * 柱面坐标系 球面坐标系 直角坐标系 散度的表达式(推导论证)： 散度的有关公式： * 直角坐标系下散度表达式的推导 由此可知，穿出前、后两侧面的净通量值为 o x y 在直角坐标系中计算 ? ·F z z D x D y D P 不失一般性，令包围P点的微体积?V 为一直平行六面体，如图所示。则 M(x,y,z) * 根据定义，则得到直