我的收藏-2013届数学(文)第一轮第7章第43讲_导数在研究函数中的应用.ppt

1.若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在[－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是_____________. 【解析】由f (x)＝－x＋0， 得b(x＋1)2－1 (x≥－1)， 所以b－1. (－∞，－1) 5.已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋1在区间(－∞，－2]上单调递增，在区间[－2,2]上单调递减，且b≥0. (1)求f(x)的解析式； (2)设0m≤2，若对任意的x1、x2∈[m－2，m]不等式|f(x1)－f(x2)|≤16m恒成立，求实数m的最小值． 1．一般地，设函数y＝f(x)在某个区间内可导．如果f(x)＞0，则f(x)为增函数；如果f(x)＜0，则f(x)为减函数．单调性是导数应用的重点内容，主要有四类问题：①运用导数判断单调区间；②证明单调性；③已知单调性求参数；④先证明其单调性，再运用单调证明不等式等问题． 2．函数的单调性 设函数f(x)是定义在(a，b)上的可导函数，则f‘(x)0，(f’(x)0)是f(x)在(a，b)上单调递增(递减)的充分不必要条件．如f(x)＝x3在R上是增函数，但当x＝0时， f (0)＝0. 求单调区间的一般步骤： ①求导数f (x)； ②在函数f(x)的定义域内解不等式 f (x)0(f (x)0)； ③确定单调区间． 特别注意： (1)考虑定义域； (2)定义区间上的不连续点和不可导点． 3．函数的极值是在局部对函数值的比较，它只能是函数定义域中的内点，而不能是端点；而最值是在整个定义域上对函数值的比较，它可以在端点处取得． 求可导函数极值的步骤：①求导数f(x)；②求导数f(x)＝0的根；③检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取极小值． 函数的极(最)值 函数的极值刻画的是函数在其定义域内的局部性质，函数的最值刻画的是函数在其定义域内的整体性质． 求函数极值的方法：如果函数f(x)在点x0的邻近左侧有f(x)0，右侧有f(x)0，则x0为极大值点，极大值为f(x0)；如果函数f(x)在点x0的邻近左侧有f(x)0，右侧有f(x)0，则x0为极小值点，极小值为f(x0)． 求函数最值的方法：如果函数f(x)在(a，b)上可导，并在[a，b]上连续，则函数f(x)在[a，b]上有最值．其一般步骤为：①求f(x)在[a，b]内的极值；②将所求极值与端点的函数值比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值．这也是求函数值域的方法． 注意：可导函数在极值点处的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点． 4．导数的综合应用 导数在函数中的应用非常广泛，如证明不等式．基本方法是构造函数，讨论方程的根，根据单调性和极值画出函数的图象，研究图象的交点．实际中的费用最省和利润最大问题，关键是建立数学中的函数模型． * 函数的单调性 x (－∞，b－1) b－1 (b－1,1) (1，＋∞) f ′(x) － 0 ＋ － 当b－11，即b2时，x、f ′(x)的变化情况如下表： x (－∞，1) (1，b－1) b－1 (b－1，＋∞) f ′(x) － ＋ 0 － 求函数的单调区间，先找出函数的极值点，再判断在极值点邻近函数的变化趋势．本题是用导数研究函数单调性的常见问题，由于参数b的大小直接影响函数的单调区间，因此要对b进行分类讨论． 函数的极值 本题是以函数极值为背景考查分析问题的思维能力和对参数范围的识别能力．解答中有两处值得体会：一是极值点得导数等于0，但导数等于0的点不一定是极值点，故第一问需要检验；二是已知参数范围，恒成立问题求自变量的范围可以通过变量转化，也可以变量分离来求解． 【变式练习2】 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－1(a0)，若f(x)在其定义域内为增函数，求a的取值范围． 【解析】因为函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－1(a0)在R上为增函数， 所以f ′(x)＝3x2＋2ax＋3≥0在R上恒成立， 由Δ＝4a2－36≤0，所以a2≤9，所以0a≤3； 又因为当a＝3时，f(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0(只有当x＝－1时，f(x)才等于0)，因此0a≤3. 函数的最值 【例3】 已知x＝3是函数f(x)＝aln(1＋x)＋x2－10x的一个极值点． (1)求a的值； (2)求函数f(x)的单调区间； (3)若直线y＝b与函数y＝f(x)的图象有3个交点，求b的取值范围． (3)由(2)知，f(x)在(－1,1)内单调递增