我的收藏-2013届数学(理)第一轮第11章 第64讲 角和距离的向量解法.ppt

利用向量的方法求二面角的大小，先求两个面的法向量，再用向量的数量积求出二面角或其补角. 【变式练习3】(2010·江苏省无锡市质量调研)如图，矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF＝90°，BE∥CF，CE⊥EF，AD＝ ，EF＝2. (1)求异面直线AD与EF所成的角； (2)当AB的长为何值时，二面角A—EF—C的大小为45°？ 点到平面的距离 求点到平面的距离的向量方法是利用向量数量积的几何意义，这是用向量方法求距离的重要应用. * 异面直线所成的角 用向量法求异面直线所成的角的关键是构造直线的方向向量，利用向量的数量积进行计算. 长方体 ABCD-A1B1C1D1中， AB=BC=2 , AA1=1, E , H分别是A1B1和 BB1的中点. 求： (1)异面直线EH与AD1所成的角的余弦值； (2)异面直线AC1与B1C所成的角的余弦值. 直线与平面所成的角 解析： (1)证明：作SO⊥BC，垂足为O，连结AO. 由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD. 因为SA=SB，所以AO=BO. 又∠ABC=45°，所以△AOB为等腰直角三角形 所以AO⊥OB. 如图，以O为坐标原点，OA为 x 轴正向，建立直 角坐标系O—xyz. 利用向量法求直线与平面所成的角是通过求直线的方向向量与平面的法向量的夹角，再转化为直线与平面所成的角，这一过程中向量的数量积发挥了重要作用. 【变式练习2】正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，如图. BE⊥B1C，E在C1C上，BE交B1C于F. 求A1B与平面BED所成角的正弦值. 二面角 【例3】如图，在四棱锥P—ABCD 中，底面ABCD为正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD，E、F分别是AB、 PC的中点. (1)求证：EF∥平面PAD； (2)设PD=2CD，求二面角A—EF —D的正切值.